Question

13．已知定義在R上的奇函數(shù)f（x），當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）=-x²+2x．
（1）求函數(shù) f（x）在R上的解析式；
（2）畫(huà)出函數(shù)f（x）的圖象，并求出其單調(diào)區(qū)間．

Answer 1

分析 （1）由函數(shù)的奇偶性和已知解析式，把-x整體代入可得解析式；
（2）由（1）畫(huà)出函數(shù)f（x）的圖象，數(shù)形結(jié)合可得單調(diào)區(qū)間．

解答 解：（1）∵f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，∴f（0）=0，
當(dāng)x＜0時(shí)，-x＞0，∴f（x）=-f（-x）=x²+2x，
∴函數(shù) f（x）在R上的解析式為$\left\{\begin{array}{l}{-{x}^{2}+2x，x≥0}\\{{x}^{2}+2x，x＜0}\end{array}\right.$；
（2）由（1）畫(huà)出函數(shù)f（x）的圖象（如圖），
數(shù)形結(jié)合可得函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（-1，1），
單調(diào)遞減區(qū)間為（-∞，-1）和（1，+∞）

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的解析式求解，涉及函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性以及函數(shù)的作圖，屬中檔題．