Question

在三棱錐S-ABC中，△ABC是邊長為8的正三角形，SA=SC=2

7

，二面角S-AC-B為60°
（1）求證：AC⊥SB；
（2）求三棱錐S-ABC的體積；
（3）求二面角S-BC-A的正切值．

Answer 1

考點：棱柱、棱錐、棱臺的體積,空間中直線與直線之間的位置關(guān)系

專題：計算題,證明題,空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（1）取AC的中點D，連接SD，BD，證明SD⊥AC，BD⊥AC，說明AC⊥面SBD，即可證明AC⊥SB．
（2）過S作SO⊥BD于O，說明∠SDB為二面角S-AC-B平面角，求出SO，然后求出幾何體的體積．
（3）過O作OH⊥BC于H，連SH，則SH⊥BC，所以∠SHO為二面角S-BC-A的平面角，分別在三角形中求相應(yīng)線段的長，從而可解．

解答： 解（1）取AC的中點D，連接SD，BD，
∵SA=SC，D為AC的中點，
∴SD⊥AC，∵AB=BC，D為AC的中點，
∴BD⊥AC，又SD∩BD=D∴AC⊥面SBD，
又SB?面SBD，∴AC⊥SB；
（2）過S作SO⊥BD于O，∵AC⊥面SBD，
又AC?平面ABC∴平面SBD⊥平面ABC，
又SO⊥BD∴SO⊥平面ABC，
在Rt△SAD中，SA=2

7

，AD=

1

2

AC=4
∴SD=

28-16

=2

3

∵SD⊥AC，BD⊥AC，∴∠SDB為二面角S-AC-B平面角，∴∠SDB=60°，
在Rt△SDO中，SOSO=SDsin∠SDO=2

3

×

3

2

=3，
∴V_S-ABC=

1

3

S_△ABC•SO=

1

3

•

3

4

•64•3=16

3

；
（3）過O作OH⊥BC于H，連SH，則SH⊥BC∴∠SHO為二面角S-BC-A的平面角  
∵正△ABC是邊長為8，∴BD=4

3

，∵OD=

SD2-SO2

=

3

，∴OB=3

3

，
在Rt△OHB中，OH=OBsin30°=

1

2

OB=

3 3

2

，在Rt△SOH中，tan∠SHO=

SO

OH

=

3

3 3 2

=

2 3

3

．
即二面角S-BC-A的正切值為

2 3

3

．

點評：本題是中檔題，考查空間幾何體的直線與直線的位置關(guān)系，幾何體的體積的求法，空間的二面角的平面角，考查空間想象能力、邏輯推理能力、計算能力．