Question

一動(dòng)圓與圓外切，與圓內(nèi)切.

(1)求動(dòng)圓圓心的軌跡的方程；

(2)設(shè)過圓心的直線與軌跡相交于、兩點(diǎn)，請(qǐng)問（為圓的圓心）的內(nèi)切圓的面積是否存在最大值？若存在，求出這個(gè)最大值及直線的方程，若不存在，請(qǐng)說明理由.

 

Answer 1

【答案】

（1）．

(2) 存在直線,的內(nèi)切圓M的面積最大值為

【解析】1）設(shè)動(dòng)圓圓心為，半徑為．

由題意，得，， ．     …………3分

由橢圓定義知在以為焦點(diǎn)的橢圓上，且，

．

動(dòng)圓圓心M的軌跡的方程為． ……6分

(2) 如圖,設(shè)內(nèi)切圓N的半徑為,與直線的切點(diǎn)為C，

則三角形的面積

 =

當(dāng)最大時(shí),也最大, 內(nèi)切圓的面積也最大,  …………7分

設(shè)、(),則,  ……8分

由,得,

解得,,    …………10分

∴,令,則,且,

有,令,則,

當(dāng)時(shí),,在上單調(diào)遞增,有,,

即當(dāng),時(shí),有最大值,得,這時(shí)所求內(nèi)切圓的面積為,

∴存在直線,的內(nèi)切圓M的面積最大值為.           …………14分