Question

已知橢圓C：

x2

12

+

y2

4

=1，一個頂點(diǎn)為A（0，2）
（1）若將橢圓C繞點(diǎn)P（1，2）旋轉(zhuǎn)180°得到橢圓D，求橢圓D方程
（2）若橢圓C與直線y=kx+m （k≠0）相交于不同的M、N兩點(diǎn)，且|AM|=|AN|，
求m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）橢圓C的對稱中心（0，0）關(guān)于點(diǎn)P（1，2）的對稱點(diǎn)為（2，4），且對稱軸平行于坐標(biāo)軸，長軸、
短軸的長度不變．
（2）把M（x₁，y₁）、N（x₂，y₂），代入橢圓C相減，利用斜率公式及A在線段MN的中垂線上，求得
y₁+y₂ =-2，x₁+x₂=6k，把y=kx+m代入橢圓C：

x2

12

+

y2

4

=1化為關(guān)于x的一元二次方程，再利用判別式大于0，
求出m的取值范圍．

解答：解：（1）由題意得，橢圓C的對稱中心（0，0）關(guān)于點(diǎn)P（1，2）的對稱點(diǎn)為（2，4），
且對稱軸平行于坐標(biāo)軸，
長軸、短軸的長度不變，故將橢圓C繞點(diǎn)P（1，2）旋轉(zhuǎn)180°得到橢圓D的方程為

(x-2)2

12

+

(y-4)2

4

=1．
（2）設(shè)M（x₁，y₁）、N（x₂，y₂），∵|AM|=|AN|，∴A在線段MN的中垂線上．
 把M（x₁，y₁）、N（x₂，y₂），代入橢圓C：

x2

12

+

y2

4

=1的方程得：

x12

12

+

y12

4

=1①，

x22

12

+

y22

4

=1 ②，
用①減去②得：

(x1-x2)(x1+x2)

12

=

(y1-y2)(y1+y2)

-4

，
∴k=

y1-y2

x1-x2

=-

1

3

×

x1+x2

y1+y2

，再由中垂線的性質(zhì)得

-1

k

=

y1+y2 2 -2

x1+x2 2 -0

=

y1+y2-4

x1+x2

，
∴

3(y1+y2)

x1+x2

=

y1+y2-4

x1+x2

，∴y₁+y₂=-2，∴x₁+x₂=-3k（y₁+y₂）=6k，
故MN的中點(diǎn)（3k，-1）．
把y=kx+m代入橢圓C：

x2

12

+

y2

4

=1得，（1+3k²）x²+6kmx+3m²-12=0，
∴x₁+x₂=6k=

-6km

1+3k2

，∴m=-（1+3k²），∴-mx²+6kmx+3m²-12=0，
由題意知，判別式大于0，即 36k²m² +4m（3m²-12）＞0，
36×

m-1

3

×m²-12m³+48m＞0，m（m-4）＜0，∴0＜m＜4，
故 m的取值范圍為 （0，4）．

點(diǎn)評：本題考查利用對稱法求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，斜率公式、中點(diǎn)公式的應(yīng)用，以及一元二次方程有兩個根的條件，
屬于中檔題．