Question

如圖，四邊形ABCD與BDEF均為菱形，∠DAB=∠DBF=60°，且FA=FC．
（1）求證：AC⊥平面BDEF；
（2）求二面角A-FC-B的余弦值．
（3）求AF與平面BFC所成角的正弦值．

Answer 1

分析：（1）要證AC⊥平面BDEF，只要證AC垂直于平面BDEF內(nèi)的兩條相交直線即可，設(shè)AC與BD相交于點(diǎn)O，連結(jié)FO，由已知FA=FC可得AC⊥FO，再由ABCD為菱形得到AC⊥BD，則由線面垂直的判定定理得到答案；
（2）由OA，OB，OF兩兩垂直，建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz，求出二面角A-FC-B的兩個(gè)面的法向量，由法向量所成角的余弦值求得答案；
（3）求出向量

AF

的坐標(biāo)，直接用向量

AF

與平面BFC的法向量所成角的余弦值求得AF與平面BFC所成角的正弦值．

解答：（1）證明：設(shè)AC與BD相交于點(diǎn)O，連結(jié)FO．
因?yàn)樗倪呅蜛BCD為菱形，
所以AC⊥BD，
且O為AC中點(diǎn)．又FA=FC，
所以AC⊥FO．  　　
因?yàn)镕O∩BD=O，
所以AC⊥平面BDEF．  　
（2）解：因?yàn)樗倪呅蜝DEF為菱形，且∠DBF=60°，
所以△DBF為等邊三角形．
因?yàn)镺為BD中點(diǎn)，所以FO⊥BD，
故FO⊥平面ABCD．　
由OA，OB，OF兩兩垂直，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系O-xyz．
設(shè)AB=2．因?yàn)樗倪呅蜛BCD為菱形，∠DAB=60°，
則BD=2，所以O(shè)B=1，OA=OF=

3

．
所以 O(0，0，0)，A(

3

，0，0)，B(0，1，0)，C(-

3

，0，0)，F(xiàn)(0，0，

3

)．
所以 

CF

=(

3

，0，

3

)，

CB

=(

3

，1，0)．
設(shè)平面BFC的法向量為

n

=(x，y，z)，
則有

n • CF =0 n • CB =0

，所以

3 x+ 3 z=0 3 x+y=0

，取x=1，得

n

=(1，-

3

，-1)．
由圖可知平面AFC的法向量為

v

=(0，1，0)．
由二面角A-FC-B是銳角，得|cos＜

n

，

v

＞|=

| n • v |

| n | | v |

=

15

5

．
所以二面角A-FC-B的余弦值為

15

5

；
（3）解：

AF

=(-

3

，0，

3

)，
平面BFC的法向量

n

=(1，-

3

，-1)，
所以cos＜

AF

，

n

＞=

AF • n

| AF | | n |

=

-2 3

6 5

=-

10

5

．
則sinθ=|cos＜

AF

，

n

＞|=

10

5

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了直線和平面垂直的性質(zhì)，考查了利用空間向量求線面角和面面角，解答的關(guān)鍵是建立正確的空間右手系，是中檔題．