Question

已知直角梯形PBCD，A是PD邊上的中點(diǎn)（如圖3甲），∠D=∠C=

π

2

，BC=CD=2，PD=4，將△PAB沿AB折到△SAB的位置，使SB⊥BC，點(diǎn)E在SD上，且

SE

=

1

3

SD

，（如圖乙）
（1）求證：SA⊥平面ABCD；
（2）求二面角E-AC-D的余弦值．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)面面垂直的判定定理，證明SA⊥平面ABCD；
（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量坐標(biāo)法求二面角E-AC-D的余弦值．

解答：解：（Ⅰ）證明：在題圖中，由題意可知，BA⊥PD，ABCD為正方形，
∴在圖2中，SA⊥AB，SA=2，
四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為2的正方形，
∵SB⊥BC，AB⊥BC，且SB∩AB=B，
∴BC⊥平面SAB，
又SA?平面SAB，
∴BC⊥SA，
又SA⊥AB，且BC∩AB=B，
∴SA⊥平面ABCD．
（Ⅱ）解：方法一：如圖2，在AD上取一點(diǎn)O，使

AO

=

1

3

AD

，連接EO．
∵

SE

=

1

3

SD

，
∴EO∥SA，
所以EO⊥平面ABCD，過(guò)O作OH⊥AC于H，連接EH，
則AC⊥平面EOH，所以AC⊥EH．
∴∠EHO為二面角E-AC-D的平面角，
EO=

2

3

SA=

4

3

．
在Rt△AHO中，∠HAO=45°，  HO=AO • sin45°=

2

3

×

2

2

=

2

3

．
∴二面角E-AC-D的余弦值為

1

3

．
方法二：以A為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，
如圖3，A（0，0，0），B（2，0，0），C（2，2，0），D（0，2，0），S(0，  0，  2)，  E(0，  

2

3

，  

4

3

)，
易知平面ACD的法向量為

AS

=(0，  0，  2)，
設(shè)平面EAC的法向量為

n

=(x，  y，  z)，

AC

=(2，  2，  0)，  

AE

=(0，  

2

3

，  

4

3

)，
由

n  •  AC =0 n  •  AE =0

，
∴

x+y=0 y+2z=0

可取

x=2 y=-2 z=1

∴

n

=(2，  -2，  1)，
∴cos＜

n

，  

AS

＞=

n  •  AS

| n || AS |

=

2

2×3

=

1

3

，
∴二面角E-AC-D的余弦值為

1

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查空間位置關(guān)系的判斷，以及空間二面角和直線所成角的大小求法，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量坐標(biāo)法是解決此類問題比較簡(jiǎn)潔的方法．