Question

已知數列{a_n}滿足a₁=1，na_n+1=（n+1）a_n+cn（n+1）（c為常數）
（1）證明：{

an

n

}是等差數列；
（2）問是否存在正整數p、q（p±q）使a_p=a_q成立？若存在，請寫出C滿足的條件，若不存在，說明理由．
（3）設bn=(

1

2

)nan，若當n≥4，數列{b_n}為遞數列，試求c的最小值．

Answer 1

分析：（1）根據na_n+1=（n+1）a_n+cn（n+1）化簡變形，然后根據等差數列的定義進行判定{

an

n

}是等差數列即可；
（2）先根據（1）求數列{b_n}的通項公式，由數列{b_n}為遞減數列，可得到b_n+1-b_n＜0對任意的n∈N^*恒成立，通過n=1、2、3分別求出c的范圍，再由根據函數的單調性求出的c的范圍與上面求出的c的范圍矛盾，得到實數c不存在．
（3）若要使存在正整數p，q（p≠q）使a_p=a_q成立，則p+p（p-1）c=p+q（q-1）c，然后求出c的值．

解答：解：（1）∵na_n+1=（n+1）a_n+cn（n+1）
∴

an+1

n+1

=

an

n

+c，即

an+1

n+1

-

an

n

=c
從而數列{

an

n

}是首項為1，公差為c的等差數列
（2）若要使存在正整數p，q（p≠q）使a_p=a_q成立，
則p+p（p-1）c=p+q（q-1）c
∴p+q=1-

1

c

，又p+q≥3
令p+q=k（k∈N且k≥3），則c=

1

1-k

（k∈N且k≥3）．
（3）bn=(

1

2

)nan=

cn2+(1-c)n

2n

∵數列{b_n}為遞減數列
∴bn+1-bn=

c(n+1)2+(1-c)(n+1)

2n+1

-

cn2+(1-c)n

2n

=

-c(n+1)2+(3c-1)n+1

2n+1

＜0對任意的n∈N^*恒成立
∴-cn²+（3c-1）n+1＜0，即c（3n-n²）＜n-1①
當n=1時，由①得c＜0
當n=2時，由①得c＜

1

2

當n=3時，由①得c∈R
當n≥4時，c＞

n-1

3n-n2

設f（x）=

x-1

3x-x2

(x≥4)，則f′（x）=

x2-2x+3

(3x-x2)2

=

(x-1)2+2

(3x-x2)2

＞0
∴f（x）在[4，+∞）上是增函數，從而-

3

4

≤f(x)＜0
∴c≥0
綜上可知，滿足條件的實數c不存在．

點評：本題主要考查了等差數列的判定，構造法求出函數的導數，判斷函數的單調性，以及新數列是等差數列的充分不必要條件，同時考查了計算能力，注意p+q的范圍，屬于中檔題．