Question

在三角形中，對(duì)任意λ都有，則△ABC形狀（ ）
A．銳角三角形
B．鈍角三角形
C．直角三角形
D．等腰三角形

Answer 1

【答案】分析：在三角形ABC中，A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，將≥?≥?c²+λ²b²-2bcλcosA≥a²，整理成關(guān)于λ的二次不等式恒成立問題，利用△≤0結(jié)合正弦定理可得到sin²C≥1，從而可得答案．
解答：解：在△ABC中，設(shè)A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，則=c，=b，==a，
∵對(duì)任意λ都有≥，
∴對(duì)任意λ都有≥，
即c²+λ²b²-2bcλcosA≥a²對(duì)任意λ恒成立，
即λ²b²-2bccosA•λ+c²-a²≥0恒成立，
∵b²＞0，
∴△=4b²c²cos²A-4b²（c²-a²）≤0，
∴c²sin²A≥a²，
在三角形ABC中，由正弦定理可得sin²Csin²A≥sin²A，
∴sin²C≥1，又C為△ABC的內(nèi)角，0＜sinC≤1，
∴sinC=1．
∴三角形ABC為直角三角形．
故選C．
點(diǎn)評(píng)：本題考查三角形的形狀判斷，考查向量的數(shù)量積，考查二次不等式恒成立問題，考查正弦定理，考查分析轉(zhuǎn)化與綜合應(yīng)用、解決問題的能力，屬于難題．