【題目】在平面直角坐標系中，離心率為的橢圓過點．

（1）求橢圓的標準方程；

（2）若直線上存在點，且過點的橢圓的兩條切線相互垂直，求實數(shù)的取值范圍．

【答案】(1) (2)

【解析】

（1）根據(jù)離心率為的橢圓過點，結(jié)合性質(zhì) ，列出關(guān)于 、 、的方程組，求出 、即可得結(jié)果；（2）設(shè)切線方程為，代入橢圓方程得，則，化為，利用直線與圓有公共點，即可得結(jié)果.

（1）由題意，解得，又，解得

所以橢圓C的標準方程為．

（2）①當過點的橢圓的一條切線的斜率不存在時，另一條切線必垂直于軸，易得

②當過點的橢圓的切線的斜率均存在時，設(shè)

切線方程為，

代入橢圓方程得，

，

化簡得：，

由此得，

設(shè)過點的橢圓的切線的斜率分別為，所以．

因為兩條切線相互垂直，所以，即，

由①②知在圓上，又點在直線上，

所以直線與圓有公共點，

所以，所以．

綜上所述，的取值范圍為．

練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知兩定點，點是平面內(nèi)的動點，且,記的軌跡是

（1）求曲線的方程；

（2）過點引直線交曲線于兩點，設(shè)，點關(guān)于軸的對稱點為，證明直線過定點.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知橢：（）過點，且橢圓的離心率為.過橢圓左焦點且斜率為1的直線與橢圓交于，兩點.

（1）求橢圓的方程；

（2）求線段的垂直平分線的方程；

（3）求三角形的面積.（為坐標原點）

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【題目】已知橢圓:過點和點.

（Ⅰ）求橢圓的方程;

（Ⅱ）設(shè)直線與橢圓相交于不同的兩點, ,是否存在實數(shù),使得?若存在,求出實數(shù);若不存在,請說明理由.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知

(1)求函數(shù)的極值；

(2)設(shè)，對于任意，總有成立，求實數(shù)的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)．

（1）求曲線在處的切線方程；

（2）函數(shù)在區(qū)間上有零點，求的值；

（3）若不等式對任意正實數(shù)恒成立，求正整數(shù)的取值集合．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)（，，為常數(shù)），當時，只有一個實根；當時，只有3個相異實根，現(xiàn)給出下列4個命題：

①和有一個相同的實根；

②和有一個相同的實根；

③的任一實根大于的任一實根；

④的任一實根小于的任一實根.

其中真命題的序號是______.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】在平面直角坐標系中，曲線的參數(shù)方程為為參數(shù)），在以坐標原點為極點，軸的正半軸為極軸的極坐標系中，點的極坐標為，直線的極坐標方程為．

（1）求直線的直角坐標方程與曲線的普通方程；

（2）若是曲線上的動點，為線段的中點，求點到直線的距離的最大值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知拋物線的焦點為，若過點且斜率為1的直線與拋物線交于 兩點，且.

（1）求拋物線的方程；

（2）若平行于的直線與拋物線相切于點，求的面積.

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