Question

5．已知函數f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{2-|x-2|，（0≤x＜4）}\\{{2}^{x-2}-3，（4≤x≤6）}\end{array}\right.$，若存在x₁，x₂，當0≤x₁＜4≤x₂≤6時，f（x₁）=f（x₂），則x₁•f（x₂）的取值范圍是（　�。�

• A． [0，1）
• B． [1，4]
• C． [1，6]
• D． [0，1]∪[3，8]

Answer 1

分析 由已知中函數f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{2-|x-2|，（0≤x＜4）}\\{{2}^{x-2}-3，（4≤x≤6）}\end{array}\right.$，可得當0≤x₁＜4≤x₂≤6時，若f（x₁）=f（x₂），則x₁∈[1，3]，進而得到x₁•f（x₂）的表達式，數形結合，可得x₁•f（x₂）的取值范圍．

解答 解：函數f（x）=$\left\{\begin{array}{l}2-|x-2|，（0≤x≤4）\\{2}^{x-2}-3，（4≤x≤6）\end{array}\right.$的圖象如下圖所示：


當0≤x₁＜4≤x₂≤6時，若f（x₁）=f（x₂），
則x₁∈[1，3]，
∴x₁•f（x₂）=x₁•f（x₁）=x₁•（2-|x₁-2|）=$\left\{\begin{array}{l}{x}_{1}^{2}，1≤{x}_{1}＜2\\{-x}_{1}^{2}+4{x}_{1}，2≤{x}_{1}＜3\end{array}\right.$，
其圖象如下圖所示：

即x₁•f（x₂）的范圍是[1，4]．
故選：B

點評 本題考查的知識點是分段函數的圖象和性質，分段函數的應用，數形結合思想，難度中檔．