Question

（4-2 矩陣與變換選做題）已知曲線C：y²-x²=2．
（1）將曲線C繞坐標(biāo)原點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°后，求得到的曲線C′的方程；
（2）求曲線C的焦點(diǎn)坐標(biāo)和漸近線方程．

Answer 1

分析：（1）先求出旋轉(zhuǎn)變換矩陣M，再推出任意一點(diǎn)在M的作用下后的點(diǎn)，代入已知曲線方程即可；
（2）先求出曲線y²-x²=2的焦點(diǎn)坐標(biāo)與漸近線方程，然后將焦點(diǎn)坐標(biāo)在旋轉(zhuǎn)變換矩陣的作用下后的點(diǎn)，以及將漸近線方程在旋轉(zhuǎn)變換矩陣的作用下后的漸近線方程．

解答：解：（1）

.

2 2 2 2 - 2 2 2 2

.

.

x y

.

=

.

2 2 x+ 2 2 y - 2 2 x+ 2 2 y

.

=

.

x′ y′

.

（2分）
得到

x′= 2 2  x+ 2 2  y y′=- 2 2  x+ 2 2  y

，得到

x= 2 2  x′- 2 2  y′ y= 2 2  x′+ 2 2  y′

代入y²-x²=2，得y=

1

x

（5分）
（2）曲線y²-x²=2的焦點(diǎn)坐標(biāo)是（0，-2），（0，2），漸近線方程x±y=0，
將點(diǎn)（0，-2），（0，2）分別代入

x′= 2 2  x+ 2 2  y y′=- 2 2  x+ 2 2  y

，得到(-

2

，-

2

)，(

2

，

2

)（7分）
將

x= 2 2  x′- 2 2  y′ y= 2 2  x′+ 2 2  y′

代入，得到x′=0和y′=0；（9分）
矩陣變換后，曲線C′的焦點(diǎn)坐標(biāo)是(-

2

，-

2

)，(

2

，

2

)．曲線C′的漸近線方程為x=0和y=0．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了旋轉(zhuǎn)變換，以及簡(jiǎn)單曲線曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)和漸近線方程等有關(guān)知識(shí)，同時(shí)考查了計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．