Question

如圖，三棱柱ABC---A₁B₁C₁中，AA₁⊥平面ABC，AB⊥BC，點M，N分別為A₁C₁與A₁B的中點．
（Ⅰ）求證：MN∥平面 BCC₁B₁；
（Ⅱ）求證：平面A₁BC⊥平面A₁ABB₁．

Answer 1

分析：對（I），通過線線平行⇒線面平行．
對（II），通過證明BC垂直于平面內的兩條相交直線，證線面垂直，再由線面垂直⇒面面垂直．

解答：證明：（Ⅰ）連接BC₁
∵點M，N分別為A₁C₁ A₁B的中點，
∴MN∥BC₁
∵MN?平面BCC₁B₁，BC₁?平面BCC₁B₁，
∴MN∥平面BCC₁B₁．
（Ⅱ）∵AA₁⊥平面ABC，BC?平面ABC，
∴AA₁⊥BC．
又∵AB⊥BC，AA₁∩AB=A，
∴BC⊥平面A₁ABB₁
∵BC?平面A₁BC，
∴平面A₁BC⊥平面A₁ABB₁

點評：本題考查線面平行的判定與面面垂直的判定．對（I）也可過M作MF⊥A₁B₁于F，連接NF，通過證平面MNF∥平面BC₁，來證線面平行．