Question

16．如圖1，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，AD⊥AB，AD=1，BC=2，E為CD上一點(diǎn)，且DE=1，EC=2，現(xiàn)沿BE折疊使平面BCE⊥平面ABED，F(xiàn)為BE的中點(diǎn)．圖2所示．
（1）求證：AE⊥平面BCE；
（2）能否在邊AB上找到一點(diǎn)P使平面ACE與平面PCF所成角的余弦值為$\frac{2}{3}$？若存在，試確定點(diǎn)P的位置，若不存在請說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)線面垂直的判定定理即可證明AE⊥平面BCE；
（2）建立空間坐標(biāo)系，求出平面的法向量，利用向量法建立方程關(guān)系即可得到結(jié)論．

解答 （1）證明：在直角梯形ABCD中，作DM⊥BC于M，連接AE，
則CM=2-1=1，CD=DE+CE=1+2=3，
則DM=AB=$\sqrt{9-1}$=$\sqrt{8}$=2$\sqrt{2}$，
cosC=$\frac{CM}{CD}$=$\frac{1}{3}$，則BE=$\sqrt{C{E}^{2}+C{B}^{2}-2CE•CBcosC}$=$\sqrt{4+4-2×2×2×\frac{1}{3}}$=$\sqrt{\frac{16}{3}}$=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，
sin∠CDM=$\frac{1}{3}$，
則AE=$\sqrt{A{D}^{2}+D{E}^{2}-2AD•DEcos∠ADE}$
=$\sqrt{1+1-2×1×1×\frac{1}{3}}$=$\sqrt{\frac{4}{3}}$=$\frac{2\sqrt{6}}{3}$，（2分）
∴AE²+BE²=AB²，
故AE⊥BE，且折疊后AE與BE位置關(guān)系不變…（4分）
又∵面BCE⊥面ABED，且面BCE∩面ABED=BE，
∴AE⊥面BCE…（6分）
（2）解：∵在△BCE中，BC=CE=2，F(xiàn)為BE的中點(diǎn)
∴CF⊥BE
又∵面BCE⊥面ABED，且面BCE∩面ABED=BE，
∴CF⊥面ABED，
故可以F為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系
則A（$\frac{2\sqrt{6}}{3}$，$-\frac{2\sqrt{3}}{3}$，0），C（0，0，$\frac{2\sqrt{6}}{3}$），E（0，$-\frac{2\sqrt{3}}{3}$，0），
易求得面ACE的法向量為$\overrightarrow{m}$=（0，$-\sqrt{2}$，1）…（8分）
假設(shè)在AB上存在一點(diǎn)P使平面ACE與平面PCF，
所成角的余弦值為$\frac{2}{3}$，且$\overrightarrow{AP}=λ\overrightarrow{AB}$，（λ∈R），
∵B（0，$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，0），
∴$\overrightarrow{AB}$=（-$\frac{2\sqrt{6}}{3}$，$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，0），
 故$\overrightarrow{AP}$=（-$\frac{2\sqrt{6}}{3}$λ，$\frac{4\sqrt{3}}{3}$λ，0），
又$\overrightarrow{CA}$=（$\frac{2\sqrt{6}}{3}$，$-\frac{2\sqrt{3}}{3}$，-$\frac{2\sqrt{6}}{3}$），
∴$\overrightarrow{CP}=\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{AP}$=（$\frac{2\sqrt{6}}{3}$（1-λ），$\frac{2\sqrt{3}}{3}$（2λ-1），-$\frac{2\sqrt{6}}{3}$），
又 $\overrightarrow{FC}$=（0，0，$\frac{2\sqrt{6}}{3}$），
 設(shè)面PCF的法向量為$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
∴$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{FC}•\overrightarrow{n}=0}\\{\overrightarrow{CP}•\overrightarrow{n}=0}\end{array}\right.$，
即$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{2\sqrt{6}}{3}z=0}\\{\frac{2\sqrt{6}}{3}（1-λ）x-\frac{2\sqrt{3}}{3}（2λ-1）y-\frac{2\sqrt{6}}{3}z=0}\end{array}\right.$，
令x=2λ-1得$\overrightarrow{n}$=（2λ-1，$\sqrt{2}$（λ-1），0）…（10分）
∴|cos＜$\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}$＞|=|$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}||\overrightarrow{n}|}$|=$\frac{|2（λ-1）|}{\sqrt{3}•\sqrt{（2λ-1）^{2}+2（λ-1）^{2}}}$=$\frac{2}{3}$，
解得$λ=\frac{2}{3}$ …（12分）
因此存在點(diǎn)P且P為線段AB上靠近點(diǎn)B的三等分點(diǎn)時(shí)使得平面ACE與平面PCF所成角的余弦值為$\frac{2}{3}$．…（13分）

點(diǎn)評 本題主要考查空間線面垂直的判定以及空間二面角的計(jì)算和應(yīng)用，建立空間坐標(biāo)系利用向量法是解決本題的關(guān)鍵．