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已知直線l:kx-y+1+2k=0(k∈R).
(1)證明:直線l過定點;
(2)若直線l不經過第四象限,求k的取值范圍;
(3)若直線l交x軸負半軸于點A,交y軸正半軸于點B,O為坐標原點,設△AOB的面積為S,求S的最小值及此時直線l的方程.
分析:(1)直線l的方程可化為y=k(x+2)+1,直線l過定點(-2,1).
(2)要使直線l不經過第四象限,則直線的斜率和直線在y軸上的截距都是非負數,解出k的取值范圍.
(3)先求出直線在兩個坐標軸上的截距,代入三角形的面積公式,再使用基本不等式可求得面積的最小值.
解答:解:(1)直線l的方程可化為y=k(x+2)+1,
故無論k取何值,直線l總過定點(-2,1).
(2)直線l的方程可化為y=kx+2k+1,則直線l在y軸上的截距為2k+1,
要使直線l不經過第四象限,則
k≥0
1+2k≥0
,
解得k的取值范圍是k≥0.

(3)依題意,直線l在x軸上的截距為-
1+2k
k
,在y軸上的截距為1+2k,
∴A(-
1+2k
k
,0),B(0,1+2k),
又-
1+2k
k
<0且1+2k>0,
∴k>0,故S=
1
2
|OA||OB|=
1
2
×
1+2k
k
(1+2k)
=
1
2
(4k+
1
k
+4)≥
1
2
(4+4)=4,
當且僅當4k=
1
k
,即k=
1
2
時,取等號,
故S的最小值為4,此時直線l的方程為x-2y+4=0.
點評:本題考查直線過定點問題,直線在坐標系中的位置,以及基本不等式的應用(注意檢驗等號成立的條件).
練習冊系列答案
相關習題

科目:高中數學 來源: 題型:

已知直線l:kx+y-k+2=0和兩點A(3,0),B(0,1),下列命題正確的是
 
(填上所有正確命題的序號).
①直線l對任意實數k恒過點P(1,-2);
②方程kx+y-k+2=0可以表示所有過點P(1,-2)的直線;
③當k=±1及k=2時直線l在坐標軸上的截距相等;
④若
x03
+y0=1
,則直線(x0-1)(y+2)=(y0+2)(x-1)與直線AB及直線l都有公共點;
⑤使得直線l與線段AB有公共點的k的范圍是[-3,1];
⑥使得直線l與線段AB有公共點的k的范圍是(-∞,-3]∪[1,+∞).

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科目:高中數學 來源: 題型:

已知直線l:kx-y+1+2k=0(k∈R).
(1)若直線l不經過第四象限,求k的取值范圍;
(2)若直線l交x軸負半軸于點A,交y軸正半軸于點B,O為坐標原點,設△AOB的面積為S,求S的最小值及此時直線l的方程.

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科目:高中數學 來源: 題型:

已知直線l:kx-y-4k+1=0被圓C:x2+(y+1)2=25所截得的弦長為整數,則滿足條件的直線l有(  )

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科目:高中數學 來源: 題型:

(1)已知直線l:kx-y+1+2k=0(k∈R),則該直線過定點
(-2,1)
(-2,1)
;
(2)已知雙曲線
x2
a2
-
y2
b2
=1的一條漸近線方程為y=
4
3
x,則雙曲線的離心率為
5
3
5
3

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科目:高中數學 來源: 題型:

已知直線l:kx-y+2k+1=0(k∈R).
(Ⅰ)證明:直線l過定點;
(Ⅱ)若直線l交x軸負半軸于點A,交y軸正半軸于點B,O為坐標原點,設△AOB的面積為
92
,求直線l的方程.

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