Question

如圖所示,已知拋物線E:y2=x與圓M:(x-4)2+y2=r2(r>0)相交于A、B、C、D四個(gè)點(diǎn).

(1)求r的取值范圍;

(2)當(dāng)四邊形ABCD的面積最大時(shí),求對(duì)角線AC、BD的交點(diǎn)P的坐標(biāo).

Answer 1

解:(1)將y2=x代入(x-4)2+y2=r2,

并化簡(jiǎn)得x2-7x+16-r2=0,①

E與M有四個(gè)交點(diǎn)的充要條件是方程①有兩個(gè)不等的正根x1,x2,

由此得

解得<r2<16.

又r>0,

所以r的取值范圍是（,4）.

(2)不妨設(shè)E與M的四個(gè)交點(diǎn)的坐標(biāo)為:

A(x1,)、B(x1,-)、C(x2,-)、D(x2,).

則直線AC、BD的方程分別為

y-=·(x-x1),

y+=(x-x1),

解得點(diǎn)P的坐標(biāo)為(,0).

設(shè)t=,

由t=及(1)知0<t<.

由于四邊形ABCD為等腰梯形,

因而其面積S=(2+2)·|x2-x1|.

則S2=(x1+x2+2)[(x1+x2)2-4x1x2].

將x1+x2=7, =t代入上式,

并令f(t)=S2,

得f(t)=(7+2t)2·(7-2t)（0<t<）.

求導(dǎo)數(shù),f′(t)=-2(2t+7)(6t-7),

令f′(t)=0得t=,t=-(舍去),

當(dāng)0<t<時(shí),f′(t)>0;

當(dāng)<t<時(shí),f′(t)<0.

故當(dāng)且僅當(dāng)t=時(shí),f(t)有最大值,

即四邊形ABCD的面積最大.

故所求的點(diǎn)P的坐標(biāo)為（,0）.