Question

已知函數(shù)f（x）=log2(cx+1)+kx(k∈R)是偶函數(shù)，且當(dāng)k=0時(shí)，函數(shù)y=f（x）的圖象與函數(shù)y=b^x-1-1+log₂5（b∈（0，1）∪（1，+∞））的圖象都恒過(guò)同一個(gè)定點(diǎn)．
（1）求k和c的值；
（2）設(shè)g（x）=log2(a•2x-

4

3

a)(a∈R)，若方程f（x）=g（x）有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)解，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）利用b⁰=1可得y=b^x-1-1+log₂5的圖象恒過(guò)定點(diǎn)（1，log₂5），且當(dāng)k=0時(shí)，函數(shù)y=f（x）的圖象與函數(shù)y=b^x-1-1+log₂5的圖象都恒過(guò)同一個(gè)定點(diǎn)．因此函數(shù)f（x）=log2(cx+1)的圖象也過(guò)定點(diǎn)（1，log₂5），
可得log₂5=log₂（c+1），即可解得c．再利用偶函數(shù)的性質(zhì)f（-x）=f（x）即可解得k．
（2）方程f（x）=g（x）有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)解，等價(jià)于方程4x+1=(a•2x-

4

3

a)•2x有唯一實(shí)數(shù)解，且a•2x-

4

3

a＞0．令2^x=t，則此問(wèn)題等價(jià)于方程(a-1)•t2-

4

3

at-1=0只有一個(gè)正實(shí)根且a•2x-

4

3

a＞0．通過(guò)分類討論和一元二次方程的解的情況與判別式△的關(guān)系即可得出．

解答：解：（1）∵y=b^x-1-1+log₂5的圖象恒過(guò)定點(diǎn)（1，log₂5），且當(dāng)k=0時(shí)，函數(shù)y=f（x）的圖象與函數(shù)y=b^x-1-1+log₂5的圖象都恒過(guò)同一個(gè)定點(diǎn)．
∴函數(shù)f（x）=log2(cx+1)的圖象也過(guò)定點(diǎn)（1，log₂5），
∴l(xiāng)og₂5=log₂（c+1）
解得c=4．
∴f（x）=log2(4x+1)+kx．
又∵f（x）是偶函數(shù)，∴f（-x）=f（x）．
∴log2(4-x+1)-kx=log2(4x+1)+kx，
化為2x+2kx=0，
由于此式對(duì)于一切x∈R恒成立，∴k=-1．
（2）∵方程f（x）=g（x）有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)解，
等價(jià)于方程4x+1=(a•2x-

4

3

a)•2x有唯一實(shí)數(shù)解，且a•2x-

4

3

a＞0，
令2^x=t，則此問(wèn)題等價(jià)于方程(a-1)•t2-

4

3

at-1=0只有一個(gè)正實(shí)根且a•2x-

4

3

a＞0．
從而有：
①當(dāng)a-1=0即a=1，則t=-

3

4

，不合題意舍去．
②a-1≠0即a≠1．
1°若△=

16

9

a2+4(a-1)=0，即a=

3

4

或a=-3．
當(dāng)a=

3

4

時(shí)，代入方程得t=-2不合題意，
當(dāng)a=-3時(shí)，得t=

1

2

符合題意．
2°方程有一個(gè)正根和一個(gè)負(fù)根，即

-1

a-1

＜0，即a＞1符合題意，
綜上所述，實(shí)數(shù)a的取值范圍是{-3}∪（1，+∞）．

點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查了函數(shù)的奇偶性、過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題、對(duì)數(shù)函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的定義域與性質(zhì)、一元二次方程的解法等基礎(chǔ)知識(shí)與基本技能方法，考查了分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力，考查了計(jì)算能力和推理能力，屬于難題．