Question

已知△ABC的三個(gè)內(nèi)角A，B，C的對邊依次為a，b，c，外接圓半徑為1，且滿足，則△ABC面積的最大值為

1. A.
   
2. B.
   
3. C.
   
4. D.
   

Answer 1

D
分析：利用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系化簡已知等式的左邊，利用正弦定理化簡已知的等式右邊，整理后利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式及誘導(dǎo)公式化簡，根據(jù)sinC不為0，可得出cosA的值，然后利用余弦定理表示出cosA，根據(jù)cosA的值，得出bc=b²+c²-a²，再利用正弦定理表示出a，利用特殊角的三角函數(shù)值化簡后，再利用基本不等式可得出bc的最大值，進(jìn)而由sinA的值及bc的最大值，利用三角形的面積公式即可求出三角形ABC面積的最大值．
解答：由r=1，利用正弦定理可得：c=2rsinC=2sinC，b=2rsinB=2sinB，
∵tanA=，tanB=，
∴變形為：==，
∴sinAcosB=cosA（2sinC-sinB）=2sinCcosA-sinBcosA，
即sinAcosB+cosAsinB=sin（A+B）=sinC=2sinCcosA，
∵sinC≠0，∴cosA=，即A=，
∴cosA==，
∴bc=b²+c²-a²=b²+c²-（2rsinA）²=b²+c²-3≥2bc-3，
∴bc≤3（當(dāng)且僅當(dāng)b=c時(shí)，取等號），
∴△ABC面積為S=bcsinA≤×3×=，
則△ABC面積的最大值為．
故選D
點(diǎn)評：此題考查了正弦、余弦定理，同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系，兩角和與差的正弦函數(shù)公式，誘導(dǎo)公式，三角形的面積公式，以及基本不等式的運(yùn)用，熟練掌握定理及公式是解本題的關(guān)鍵．