已知向量
a
=(sin(ωx+?)，2)，
b
=(1，cos(ωx+?))，(ω＞0，0＜?＜
π
2
)．函數(shù)f(x)=(
a
+
b
)•(
a
-
b
)的圖象的相鄰兩對稱軸之間的距離為2，且過點M(1，
7
2
)．
（1）求f（x）的表達式；
（2）求f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2009）的值．
分析：（1）直接根據(jù)平面向量數(shù)量積的運算以及二倍角公式求出f（x）=3-cos（2ωx+2φ）；再結合相鄰兩對稱軸之間的距離為2，且過點M(1，
7
2
)求出ω，φ即可求f（x）的表達式；
（2）先求出周期T，再結合特殊角的三角函數(shù)值即可求出結論．
解答：（本小題滿分14分）
解：（1）f(x)=(
a
+
b
)•(
a
-
b
)
=sin2（ωx+φ）-1+4-cos2（ωx+φ）
=3-cos（2ωx+2φ）
∵T=4=
2π
2ω
，∴ω=
π
4
．
∵f(1)=3-cos(
π
2
•1+2φ)=
7
2
，
∴2φ=
π
6
或2φ=
5π
6

∵φ∈（0，
π
2
）
∴f(x)=3-cos(
π
2
•x+
π
6
)或f（x）=3-cos（
π
2
x+
5π
6
）…（9分）
（2）∵T=4
∴f（1）+f（2）+…+f（2009）=502[f（1）+f（2）+f（3）+f（4）]+f（1）
=502[（3+
1
2
）+（3+
3
2
++（3-
1
2
）+（3-
3
2
）]+3+
1
2

=1509
1
2
．…（14分）
點評：本題主要考查由y=Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式以及平面向量數(shù)量積的運算．是對基礎知識的綜合考查，屬于中檔題目．
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相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知向量
a
=(sinθ，
3
)，
b
=(1，cosθ)，θ∈(-
π
2
，
π
2
)．
（1）若
a
⊥
b
，求θ；
（2）求|
a
+
b
|的最大值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知向量
a
=(sin(x-
π
4
)，-1)，
b
=(
2
，2)且f(x)=
a
•
b
+2
（1）求f（x）的表達式．
（2）用“五點作圖法”畫出函數(shù)f（x）在一個周期上的圖象．
（3）寫出f（x）在[-π，π]上的單調遞減區(qū)間．
（4）設關于x的方程f（x）=m在x∈[-π，π]上的根為x1，x2且m∈(1，
2
)，求x1+x2的值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知向量
a
=(sinθ，-2)，
b
=(1，cosθ)，且
a
⊥
b
，則sin2θ+cos2θ的值為（　　）

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知向量
a
=(sinθ，1)，
b
=(1，cosθ)，θ∈(-
π
2
，
π
2
)．
（1）若
a
⊥
b
，求θ的值；
（2）若已知sinθ+cosθ=
2
sin(θ+
π
4
)，利用此結論求|
a
+
b
|的最大值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知向量
a
=(sin(x-
π
4
)，-1)，
b
=(2，2)且f(x)=
a
•
b
+2
①用“五點法”作出函數(shù)y=f（x）在長度為一個周期的閉區(qū)間的圖象．
②求函數(shù)f（x）的最小正周期和單調增區(qū)間；
③求函數(shù)f（x）的最大值，并求出取得最大值時自變量x的取值集合
④函數(shù)f（x）的圖象可以由函數(shù)y=sin2x（x∈R）的圖象經過怎樣的變換得到？
⑤當x∈[0，π]，求函數(shù)y=2sin(x-
π
4
)的值域
解：（1）列表
（2）作圖
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