Question

給出下列命題：
①函數(shù)y=sin(

5π

2

-2x)（x∈R）是偶函數(shù)；
②函數(shù)f(x)=cos2x-

1

2

（x∈R）的周期為π；
③函數(shù)y=sin(x+

π

4

)在閉區(qū)間[-

π

2

，

π

2

]上是增函數(shù)；
④將函數(shù)y=cos(2x-

π

3

)（x∈R）的圖象向左平移

π

3

個單位，得到函數(shù)y=cos2x的圖象．
其中正確的命題的序號是：

①②

．

Answer 1

分析：①利用誘導(dǎo)公式將函數(shù)解析式化簡后容易判斷奇偶性
②利用二倍角余弦公式，將函數(shù)解析式降次后，容易求出最小正周期
③將x+

π

4

看作整體，換元后考察y=sint在t∈[-

π

4

，

3π

4

] 的單調(diào)性即可．
④利用三角函數(shù)圖象變化規(guī)律，求出向左平移后函數(shù)解析式，判斷正誤．

解答：解：①函數(shù)y=sin(

5π

2

-2x)=sin[2π+(

π

2

-2x)]=sin(

π

2

-2x)=cos2x．且 cos（-2x）=cos2x（x∈R），f（x）是偶函數(shù)．①正確
②f(x)=cos2x-

1

2

=

1+cos2x

2

-

1

2

=

1

2

cos2x．最小正周期為T=

2π

2

=π．②正確
③令t=x+

π

4

，x∈[-

π

2

，

π

2

]，則y=sint，t∈[-

π

4

，

3π

4

]，由正弦函數(shù)的單調(diào)性知y=sint在t∈[-

π

4

，

3π

4

]不為增函數(shù)，
所以函數(shù)y=sin(x+

π

4

)在閉區(qū)間[-

π

2

，

π

2

]上不為增函數(shù)．③錯誤．
 ④將函數(shù)y=cos(2x-

π

3

)（x∈R）的圖象向左平移

π

3

個單位，得到函數(shù) y=cos[2(x+

π

3

)-

π

3

]=cos(2x+

π

3

)的圖象，不為函數(shù)y=cos2x的圖象  ④錯誤．
故答案為：①②

點(diǎn)評：本題考查三角函數(shù)圖象變換規(guī)律，三角函數(shù)圖象、性質(zhì)．考查三角函數(shù)式恒等變形能力．本題易錯點(diǎn)在于④，平移變換是針對單個x而言，指的是x的變化數(shù)量．要將x的系數(shù)提出后再進(jìn)行左加右減的相位變換．