Question

已知拋物線y²=4x，過(guò)點(diǎn)M（0，2）的直線l與拋物線交于A，B兩點(diǎn)，且直線l與x軸交于點(diǎn)C．
（1）若以A，B為直徑的圓經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，求此時(shí)的直線l的方程；
（2）求證：|MA|，|MC|，|MB|成等比數(shù)列；
（3）設(shè)

MA

=α

AC

，

MB

=β

BC

，試問(wèn)α+β是否為定值，若是，求出此定值；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）設(shè)l的方程為y=kx+2（k≠0）與拋物線y²=4x聯(lián)立，利用以A，B為直徑的圓經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，可得x₁x₂+y₁y₂=0，從而可求直線l的方程；
（2）證明|MC|²=|MA||MB|≠0，即可得到|MA|，|MC|，|MB|成等比數(shù)列；
（3）由

MA

=α

AC

，

MB

=β

BC

，得α=

-kx1

kx1+2

，β=

-kx2

kx2+2

，結(jié)合韋達(dá)定理，可得結(jié)論．

解答：（1）解：設(shè)l的方程為y=kx+2（k≠0）與拋物線y²=4x聯(lián)立，可得k²x²+（4k-4）x+4=0
由△＞0，k≠0，可得k＜

1

2

且k≠0
設(shè)點(diǎn)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則x1+x2=-

4k-4

k2

①，x1x2=

4

k2

②
∵以A，B為直徑的圓經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，
∴x₁x₂+y₁y₂=0
∴（1+k²）x₁x₂+2k（x₁+x₂）+4=0
∴

4+8k

k2

=0
∴k=-

1

2

∴此時(shí)的直線l的方程為x+2y-4=0；
（2）證明：∵|MA||MB|=

1+k2

|x1-0|•

1+k2

|x2-0|=

4(1+k2)

k2

|MC|2=(

1+k2

|-

2

k

-0|)2=

4(1+k2)

k2

∴|MC|²=|MA||MB|≠0
∴|MA|，|MC|，|MB|成等比數(shù)列；
（3）解：由

MA

=α

AC

，

MB

=β

BC

，得α=

-kx1

kx1+2

，β=

-kx2

kx2+2

∴α+β=

-2k2x1x2-2k(x1+x2)

k2x1x2+2k(x1+x2)+4

把①②代入，可得α+β=-1，即α+β為定值-1．

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與拋物線的位置關(guān)系，考查等比數(shù)列的證明，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．