Question

【選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程】
已知圓C的極坐標(biāo)方程是：ρ=4cosθ，直線l的參數(shù)方程是：

x=2+tcosα y= 2 +tsinα

（其中t為參數(shù)，α為常數(shù)，且α是直線l的傾斜角）．
（Ⅰ）試求圓C的直角坐標(biāo)方程和直線l的一般方程．
（Ⅱ）當(dāng)圓C被直線l所截得的弦長(zhǎng)為2

3

時(shí)，求α的值．

Answer 1

考點(diǎn)：參數(shù)方程化成普通方程,直線的參數(shù)方程

專題：坐標(biāo)系和參數(shù)方程

分析：（Ⅰ）由ρ=4cosθ得，ρ²=4ρcosθ，利用ρ²=x²+y²，x=ρcosθ，y=ρsinθ代入即可化為直角坐標(biāo)方程．由

x=2+tcosα y= 2 +tsinα

消去參數(shù)t得直線l的普通方程．
（II）利用弦長(zhǎng)公式l=2

r2-d2

和點(diǎn)到直線的距離公式即可得出．

解答： 解：（Ⅰ）由ρ=4cosθ得，ρ²=4ρcosθ，
即x²+y²=4x，
∴圓C的直角坐標(biāo)方程為（x-2）²+y²=4．
由

x=2+tcosα y= 2 +tsinα

消去參數(shù)t得
直線l的普通方程為：sinα•x-cosα•y-2sinα+

2

cosα=0．
（Ⅱ）設(shè)圓心C到直線l的距離為d，d2=r2-(

2 3

2

)2=1，
又d=

|sinα-2sinα+ 2 cosα|

(sinα)2+(-cosα)2

=

2

|cosα|=1，化為cosα=±

2

2

．
又α∈[0，π），
故α=

π

4

或α=

3π

4

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了把極坐標(biāo)方程和參數(shù)方程化為直角坐標(biāo)方程、圓的弦長(zhǎng)公式、點(diǎn)到直線的距離公式，屬于中檔題．