Question

【題目】已知橢圓的左焦點(diǎn)為，右頂點(diǎn)為，上頂點(diǎn)為，過(guò)、、三點(diǎn)的圓的圓心坐標(biāo)為．

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）若直線（為常數(shù)， ）與橢圓交于不同的兩點(diǎn)和．

（�。┊�(dāng)直線過(guò)，且時(shí)，求直線的方程；

（ⅱ）當(dāng)坐標(biāo)原點(diǎn)到直線的距離為，且面積為時(shí)，求直線的傾斜角．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）直線的方程為或、直線的傾斜角為或.

【解析】試題分析：（Ⅰ）根據(jù)圓心在弦中垂線上，分別列出的垂直平分線方程及的垂直平分線方程，求兩直線交點(diǎn)得圓心坐標(biāo)，再根據(jù) ，可求出，（Ⅱ）（�。┰O(shè)， ，則由可得，利用直線方程與橢圓方程聯(lián)立，結(jié)合韋達(dá)定理可得， ，消去參數(shù)可得一個(gè)等量關(guān)系，而由直線過(guò)得，解方程組可得值，即得直線方程，（ⅱ）原點(diǎn)到直線的距離即為的高，所以由面積可得，利用點(diǎn)到直線距離公式及弦長(zhǎng)公式可得關(guān)于兩個(gè)等量關(guān)系，解方程組可得值，即得直線的傾斜角．

試題解析：（Ⅰ） ， ， 的中點(diǎn)為， 的斜率為

∴的垂直平分線方程為

∵圓過(guò)點(diǎn)、、三點(diǎn)，∴圓心在的垂直平分線上.

，解得或（舍）

橢圓的方程為：

（Ⅱ）設(shè)，

由可得：

， ……③

（ⅰ） 直線過(guò)， ……④

，

從而……⑤

由③④⑤可得： ，或

直線的方程為或

（ⅱ）坐標(biāo)原點(diǎn)到直線的距離為，

……⑥

結(jié)合③：

……⑦

由⑥⑦得：

面積為，

由可得：

設(shè)直線的傾斜角為，則

由于，所以或