Question

15．設函數(shù)f（x）=Asin（ωx+φ），x∈R（其中A＞0，ω＞0），在（$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{2}$）上既無最大值，也無最小值，且-f（$\frac{π}{2}$）=f（0）=f（$\frac{π}{6}$），則下列結論成立的是①②④．（把你認為正確結論的序號都寫上）
①若f（x₁）≤f（x₂）對任意實數(shù)x恒成立，則x₂-x₁必定是$\frac{π}{2}$的整數(shù)倍；
②y=f（x）的圖象關于（$\frac{4π}{3}$，0）對稱；
③對于函數(shù)y=|f（x）|（x∈R）的圖象，x=-$\frac{5π}{12}$一定是一條對稱軸且相鄰兩條對稱軸之間的距離是$\frac{π}{2}$；
④函數(shù)f（x）在每一個[kπ+$\frac{π}{12}$，kπ+$\frac{7π}{12}$]（k∈Z）上具有嚴格的單調性．

Answer 1

分析 ①根據(jù)條件先求出函數(shù)的解析式，根據(jù)條件判斷f（x₁）為函數(shù)的最小值，f（x₂）為函數(shù)的最大值，即可．
②根據(jù)函數(shù)的對稱性進行判斷．
③根據(jù)函數(shù)的對稱性以及對稱軸之間的關系進行判斷．
④求出角的范圍，結合三角函數(shù)的單調性進行判斷．

解答 解：∵在（$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{2}$）上既無最大值，也無最小值，
∴（$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{2}$）是函數(shù)的一個單調區(qū)間，區(qū)間長度為$\frac{π}{2}$-$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{3}$，
即函數(shù)的周期T≥2×$\frac{π}{3}$=$\frac{2π}{3}$，即$\frac{2π}{ω}$≥$\frac{2π}{3}$，則0＜ω≤3．
∵f（0）=f（$\frac{π}{6}$），
∴x=$\frac{0+\frac{π}{6}}{2}$=$\frac{π}{12}$是函數(shù)的一條對稱軸，
∵-f（$\frac{π}{2}$）=f（$\frac{π}{6}$），
∴x=$\frac{\frac{π}{2}+\frac{π}{6}}{2}$=$\frac{π}{3}$，即（$\frac{π}{3}$，0）是函數(shù)的一個對稱中心，
則$\left\{\begin{array}{l}{\frac{π}{12}ω+φ=\frac{π}{2}}\\{\frac{π}{3}ω+φ=π}\end{array}\right.$，解得ω=2，φ=$\frac{π}{3}$，
即f（x）=Asin（2x+$\frac{π}{3}$），函數(shù)的周期T=π，
①若f（x₁）≤f（x₂）對任意實數(shù)x恒成立，
則f（x₁）為函數(shù)的最小值，f（x₂）為函數(shù)的最大值，
則|x₂-x₁|=$\frac{T}{2}$•k=k•$\frac{π}{2}$，即x₂-x₁必定是$\frac{π}{2}$的整數(shù)倍正確，故①正確，
②當x=$\frac{4π}{3}$時，y=Asin（2×$\frac{4π}{3}$+$\frac{π}{3}$）=Asin（$\frac{8π}{3}$+$\frac{π}{3}$）=Asin3π=0，
則y=f（x）的圖象關于（$\frac{4π}{3}$，0）對稱；故②正確，
③對于函數(shù)y=|f（x）|（x∈R）的圖象，
則當x=-$\frac{5π}{12}$時，y=|Asin（2×（-$\frac{5π}{12}$）+$\frac{π}{3}$）=|Asin（$\frac{π}{3}$-$\frac{5π}{6}$）|=|Asin$\frac{π}{2}$|=A，為最值，則-$\frac{5π}{12}$一定是一條對稱軸，
且相鄰兩條對稱軸之間的距離是$\frac{T}{4}$=$\frac{π}{4}$；故③錯誤，
④當x∈[kπ+$\frac{π}{12}$，kπ+$\frac{7π}{12}$]（k∈Z），
則2x∈[2kπ+$\frac{π}{6}$，2kπ+$\frac{7π}{6}$]（k∈Z），
2x+$\frac{π}{3}$∈[2kπ+$\frac{π}{2}$，2kπ+$\frac{3π}{2}$]（k∈Z），
則此時函數(shù)單調遞減，即函數(shù)f（x）在每一個[kπ+$\frac{π}{12}$，kπ+$\frac{7π}{12}$]（k∈Z）上具有嚴格的單調性正確，故④正確．
故答案為：①②④

點評 本題主要考查與三角函數(shù)有關的命題的真假判斷，根據(jù)條件求出函數(shù)的解析式是解決本題的關鍵．綜合性較強，運算量較大，