Question

（00全國卷理）（本小題滿分14分）

如圖，已知梯形ABCD中，點(diǎn)E分有向線段所成的比為，雙曲線過C、D、E三點(diǎn)，且以A、B為焦點(diǎn)當(dāng)時(shí)，求雙曲線離心率的取值范圍

Answer 1

解析：如圖，以AB為垂直平分線為軸，直線AB為軸，建立直角坐標(biāo)系，則CD⊥軸因?yàn)殡p曲線經(jīng)過點(diǎn)C、D，且以A、B為焦點(diǎn)，由雙曲線的對稱性知C、D關(guān)于軸對稱                                                       ――2分

依題意，記A，C，E，其中為雙曲線的半焦距，是梯形的高

由定比分點(diǎn)坐標(biāo)公式得

               ，

              

設(shè)雙曲線的方程為，則離心率

由點(diǎn)C、E在雙曲線上，將點(diǎn)C、E的坐標(biāo)和代入雙曲線方程得

                ，             ①

                    ②            ――7分

由①式得         ，            ③

將③式代入②式，整理得   

                 ，

故                                    ――10分

由題設(shè)得，

解得             

所以雙曲線的離心率的取值范圍為           ――14分