Question

在△ABC中，已知AB=

4 6

3

，cosB=

6

6

，AC邊上的中線BD=

5

，求sinA的值．

Answer 1

分析：解三角形的特征是把題目中所給的條件全部集合到一個三角形中，依次解出邊、角，達(dá)到解三角形的目的．
方法一通過充分利用D是中點(diǎn)，構(gòu)造新三角形，在新三角形中解出BC的一半求出BC，再由余弦定理求邊AC，下則可用正弦定理求出sinA；
方法二根據(jù)所給的條件巧妙地建立了一個直角坐標(biāo)系，將三角問題轉(zhuǎn)化到向量中研究，大大降低了分析問題的難度，首先是求出了

AB

，

AC

兩個向量，利用公式求出了兩個向量的夾角A的余弦，再求正弦．此法越過了構(gòu)造新三角形，使得方法易想．
方法三與方法一類似構(gòu)造了一系列的新三角形，此方法充分利用D是中點(diǎn)這一性質(zhì)構(gòu)造出了一個平行四邊形，使得求三角形的另兩邊的邊長時視野開闊，方法也較巧妙．

解答：解：解法一：設(shè)E為BC的中點(diǎn)，連接DE，則DE∥AB，且DE=

1

2

AB=

2 6

3

，設(shè)BE=x．
由DE∥AB可得出∠BED=π-∠B，即cos∠BED=-

6

6

在△BDE中利用余弦定理可得：BD²=BE²+ED²-2BE•EDcos∠BED，5=x²+

8

3

+2×

2 6

3

×

6

6

x，
解得x=1，x=-

7

3

（舍去）．
故BC=2，從而AC²=AB²+BC²-2AB•BCcosB=

28

3

，即AC=

2 21

3

又sinB=

30

6

，故

2

sinA

=

2 21 3

30 6

，sinA=

70

14

．

解法二：以B為坐標(biāo)原點(diǎn)，

BC

為x軸正向建立直角坐標(biāo)系，且不妨設(shè)點(diǎn)A位于第一象限．
由sinB=

30

6

，則

BA

=（

4 6

3

cosB，

4 6

3

sinB）=（

4

3

，

4 5

3

），
設(shè)

BC

=（x，0），則

BD

=（

4+3x

6

，

2 5

3

）．
由條件得|

.

BD

|=

( 4+3x 6 )2+( 2 5 3 )2

=

5

．
從而x=2，x=-

14

3

（舍去）．故

CA

=（-

2

3

，

4 5

3

）．
于是cosA=

BA • CA

| BA |•| CA |

=

- 8 9 + 80 9

16 9 + 80 9 • 4 9 + 80 9

=

3 14

14

．
∴sinA=

1-cos2A

=

70

14

．

解法三：過A作AH⊥BC交BC于H，延長BD到P使BD=DP，連接AP、PC．
過P做PN⊥BC交BC的延長線于N，則HB=ABcosB=

4

3

，AH=

4 5

3

，
BN=

BP2-PN2

=

BP2-AH2

=

(2 5 )2-( 4 5 3 )2

=

10

3

，
而 HB=

4

3

，∴CN=

4

3

，HC=

2

3

，AC=

AH2+HC2

=

2 21

3

．
故由正弦定理得

2

sinA

=

2 21 3

30 6

，∴sinA=

70

14

．

點(diǎn)評：構(gòu)造法解三角形，如果條件不在一個三角形中時首先要做的就是把這些條件轉(zhuǎn)化到一個新構(gòu)造出來的三角形中，此三角形與要研究的三角形之間必有確定的關(guān)系，通過解新三角形來達(dá)到解要研究三角形的目的．
利用三角與向量之間的關(guān)系轉(zhuǎn)化到向量中去也是解三角形的一個好辦法，此法大大降低了解三角形時思維的深度，方法較好，數(shù)學(xué)解題中的一個重要能力就是靈活轉(zhuǎn)化，本題能起到培養(yǎng)答題者轉(zhuǎn)化化歸意識的一道好題．