Question

【題目】已知拋物線過點(diǎn)，其焦點(diǎn)為，且.

（1）求拋物線的方程；

（2）設(shè)為軸上異于原點(diǎn)的任意一點(diǎn)，過點(diǎn)作不經(jīng)過原點(diǎn)的兩條直線分別與拋物線和圓相切，切點(diǎn)分別為，求證：三點(diǎn)共線.

Answer 1

【答案】（1）（2）證明見解析

【解析】

（1）由于,再結(jié)合拋物線過點(diǎn)，求解即可；

（2）設(shè)，直線與拋物線相切，與拋物線聯(lián)立得到，即，由點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱，得到，證明，即得證.

解：（1）拋物線的準(zhǔn)線方程為，

∴.

又拋物線過點(diǎn)，

∴，即，

∴，∴，

∴拋物線的方程為.

（2）證明：設(shè)，已知切線不為軸.設(shè)，聯(lián)立消去，可得.

∵直線與拋物線相切，

∴，即，

代入得，∴，即.

設(shè)切點(diǎn)，則點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱，

則解得即.

當(dāng)時(shí)，直線的斜率，

直線的斜率，∴，即三點(diǎn)共線.

當(dāng)時(shí)，，此時(shí)三點(diǎn)共線.

綜上：三點(diǎn)共線.