【題目】設(shè)橢圓 1(a> )的右焦點(diǎn)為F,右頂點(diǎn)為A,已知 ,其中O為原點(diǎn),e為橢圓的離心率.
(1)求橢圓的方程;
(2)設(shè)過點(diǎn)A的直線l與橢圓交于B(B不在x軸上),垂直于l的直線與l交于點(diǎn)M,與y軸交于點(diǎn)H,若BF⊥HF,且∠MOA=∠MAO,求直線l的斜率.
【答案】
(1)
解:由 ,
得 + = ,
即 = ,
∴a[a2﹣(a2﹣3)]=3a(a2﹣3),解得a=2.
∴橢圓方程為 ;
(2)
解:由已知設(shè)直線l的方程為y=k(x﹣2),(k≠0),
設(shè)B(x1,y1),M(x0,k(x0﹣2)),
∵∠MOA=∠MAO,
∴x0=1,
再設(shè)H(0,yH),
聯(lián)立 ,得(3+4k2)x2﹣16k2x+16k2﹣12=0.
△=(﹣16k2)2﹣4(3+4k2)(16k2﹣12)=144>0.
由根與系數(shù)的關(guān)系得 ,
∴ , ,
MH所在直線方程為y﹣k(x0﹣2)=﹣ (x﹣x0),
令x=0,得yH=(k+ )x0﹣2k,
∵BF⊥HF,
∴ ,
即1﹣x1+y1yH=1﹣ [(k+ )x0﹣2k]=0,
整理得: =1,即8k2=3.
∴k=﹣ 或k=
【解析】(1)由題意畫出圖形,把|OF|、|OA|、|FA|代入 + = ,轉(zhuǎn)化為關(guān)于a的方程,解方程求得a值,則橢圓方程可求;
(2)由已知設(shè)直線l的方程為y=k(x﹣2),(k≠0),聯(lián)立直線方程和橢圓方程,化為關(guān)于x的一元二次方程,利用根與系數(shù)的關(guān)系求得B的坐標(biāo),再寫出MH所在直線方程,求出H的坐標(biāo),由BF⊥HF,得 ,整理得到M的坐標(biāo)與k的關(guān)系,由∠MOA=∠MAO,得到x0=1,轉(zhuǎn)化為關(guān)于k的等式求得k的值.
本題考查橢圓方程的求法,考查直線與橢圓位置關(guān)系的應(yīng)用,體現(xiàn)了“整體運(yùn)算”思想方法和“設(shè)而不求”的解題思想方法,考查運(yùn)算能力,是難題.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,曲線由曲線和曲線組成,其中點(diǎn)為曲線所在圓錐曲線的焦點(diǎn),點(diǎn)為曲線所在圓錐曲線的焦點(diǎn),
(1)若,求曲線的方程;
(2)如圖,作直線平行于曲線的漸近線,交曲線于點(diǎn),
求證:弦的中點(diǎn)必在曲線的另一條漸近線上;
(3)對(duì)于(1)中的曲線,若直線過點(diǎn)交曲線于點(diǎn),求△面積的最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】成等差數(shù)列的三個(gè)正數(shù)的和等于15,并且這三個(gè)數(shù)分別加上2、5、13后成為等比數(shù)列{bn}中的b3、b4、b5.
(Ⅰ)求數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式;
(Ⅱ)數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Sn,求證:數(shù)列{Sn+}是等比數(shù)列.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知直線l:x-y-2=0,拋物線C:y2=2px(p>0).
(1)若直線l過拋物線C的焦點(diǎn),求拋物線C的方程;
(2)已知拋物線C上存在關(guān)于直線l對(duì)稱的相異兩點(diǎn)P和Q.
①求證:線段PQ的中點(diǎn)坐標(biāo)為(2-p , -p);
②求p的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】(本小題滿分12分)△ABC中,角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c.已知a=3,cos A=,B=A+.
(1)求b的值;
(2)求△ABC的面積.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知圓M:x2+y2﹣2ay=0(a>0)截直線x+y=0所得線段的長度是2 ,則圓M與圓N:(x﹣1)2+(y﹣1)2=1的位置關(guān)系是( 。
A.內(nèi)切
B.相交
C.外切
D.相離
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)= ,其中m>0,若存在實(shí)數(shù)b,使得關(guān)于x的方程f(x)=b有三個(gè)不同的根,則m的取值范圍是 .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)f(x)=xlnx﹣ax2+(2a﹣1)x,a∈R.
(1)令g(x)=f′(x),求g(x)的單調(diào)區(qū)間;
(2)已知f(x)在x=1處取得極大值,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=x2e2x+m|x|ex+1(m∈R)有四個(gè)零點(diǎn),則m的取值范圍為( )
A.(﹣∞,﹣e﹣ )
B.(﹣∞,e+ )
C.(﹣e﹣ ,﹣2)
D.(﹣∞,﹣ )
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