Question

已知x₁＞0，x₂＞0且x₁+x₂=1，求x₁log₂x₁+x₂log₂x₂的最小值．

Answer 1

考點(diǎn)：對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：構(gòu)造函數(shù)f（x）=xlog₂x+（1-x）log₂（1-x）（0＜x＜1），根據(jù)對(duì)數(shù)的基本運(yùn)算法則，利用導(dǎo)數(shù)即可得到式子的最值．

解答： 解：設(shè)f（x）=xlog₂x+（1-x）log₂（1-x）（0＜x＜1），
則f′（x）=log₂x+log₂e-log₂（1-x）-log₂e=log2

x

1-x

，
當(dāng)0＜x＜

1

2

時(shí)，0＜

x

1-x

＜1，f′（x）＜0，
當(dāng)

1

2

＜x＜1時(shí)，

x

1-x

＞1，f′（x）＞0，
所以f(x)≥f(

1

2

)=-1，
所以x₁log₂x₁+x₂log₂x₂=f（x₁）≥-1，
且當(dāng)x1=x2=

1

2

時(shí)，取“=”，
所以x₁log₂x₁+x₂log₂x₂的最小值是-1；

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查對(duì)數(shù)的基本運(yùn)算，利用條件構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)是解決本題的關(guān)鍵，綜合性較強(qiáng)．