Question

6．已知F₁，F(xiàn)₂是雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的兩個焦點，PQ是過F₂且垂直于雙曲線實軸的一條弦，若∠PF₁Q=60°，則雙曲線有一條漸近線的傾斜角α的余弦值是（　　）

• A． $\sqrt{2}$-1
• B． $\sqrt{3}$-1
• C． $\frac{\sqrt{2}}{2}$
• D． $\frac{\sqrt{3}}{3}$

Answer 1

分析 根據(jù)題意，△PQF₁是等腰直角三角形，且被F₁F₂分成兩個全等的直角三角形．由此結(jié)合雙曲線的定義，可解出a、c關(guān)系，再求出a，b的關(guān)系，
根據(jù)雙曲線有一條漸近線的傾斜角α的正切值$\frac{a}$=tanα，即可求出答案．

解答 解：根據(jù)雙曲線的對稱性得|PF₁|=|QF₁|
∵△PQF₁中，∠PF₁Q=60°，
∴△PQF₁是一個角為30°的直角三角形，因此，Rt△PF₁F₂中，|F₁F₂|=$\sqrt{3}$|PF₂|=2c，|PF₂|=$\frac{^{2}}{a}$，
|F₁F₂|=2c，∴2c=$\sqrt{3}$•$\frac{^{2}}{a}$=$\sqrt{3}$$\frac{{c}^{2}-{a}^{2}}{a}$，
由此可得，$\sqrt{3}$e²-2e-$\sqrt{3}$=0，
雙曲線的離心率e=$\sqrt{3}$，即$\frac{c}{a}$=$\sqrt{3}$，c²=3a2，
∴b²=c²-a²=2a²，∴b=$\sqrt{2}$a，
∴雙曲線有一條漸近線的傾斜角α的正切值，tanα=$\frac{a}$=$\sqrt{2}$，
∴sinα=$\sqrt{2}$cosα，
∵sin²α+cos²α=1，
∴cos²α=$\frac{1}{3}$，
∴cosα=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
故選：D．

點評 本題考查的知識要點：等邊三角形的邊角關(guān)系，雙曲線的離心率，漸近線方程及相關(guān)的運算問題．