Question

直線2x+3y-6=0交x、y軸于A、B兩點(diǎn),試在直線y=-x上求一點(diǎn)P₁,使|P₁A|+|P₁B|最小,在y=x上求一點(diǎn)P₂,使||P₂A|-|P₂B||最大,并求出兩最值及|P₁P₂|的值.

Answer 1

思路分析：解決最值問題最常用的方法是目標(biāo)函數(shù)法和幾何法.

解：令x=0,得y=2;令y=0,得x=3.

∴A(3,0),B(0,2).

點(diǎn)B關(guān)于y=-x的對稱點(diǎn)為B′(-2,0),

直線AB′(即x軸)交y=-x于(0,0),即為P₁點(diǎn).

∵|P₁B|+|P₁A|=|P₁B′|+|P₁A|≥|B′A|,

∴當(dāng)P₁在直線AB′上,即AB′與y=-x相交時(shí),|P₁B|+|P₁A|最小,最小值為|B′A|=3-(-2)=5.

又B關(guān)于y=x有對稱點(diǎn)B″(2,0),

||P₂A|-|P₂B||=||P₂A|-|P₂B″||≤|AB″|=3-2=1.

當(dāng)且僅當(dāng)P₂、B″、A三點(diǎn)共線(又在y=x上),

即P₂為直線B″A(即x軸)與y=x的交點(diǎn)(0,0)時(shí),||P₂A|-|P₂B||取最大值為1,故P₁、P₂重合.

∴|P₁P₂|=0.