方程x3-3x+a+1=0在x∈[-2,+∞)上有三個不同的實根,則實數(shù)a的取值范圍為________.
-3<a<1
分析:首先求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù),然后根據(jù)導(dǎo)數(shù)與單調(diào)區(qū)間的關(guān)系確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,再分析可知y=f(x)圖象的大致形狀及走向,可知函數(shù)圖象的變化情況,可知方程在x∈[-2,+∞)上有三個不同的實根,求得實數(shù)a的值.
解答:
解:f(x)=x
3-3x+a+1,f'(x)=3x
2-3=3(x+1)(x-1),
當x∈(-∞,-1),f'(x)>0;
x∈(-1,1),f'(x)<0;
x∈(1,+∞),f'(x)>0.
∴f(x)在x=-1取極大值3+a,在x=1時取極小值a-1.
根據(jù)f(x)的大致圖象的變化情況,有三個不同的實數(shù)解時,
解得a的取值范圍是-3<a<1.
故答案為:-3<a<1.
點評:考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和圖象,體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想方法.本題是一道含參數(shù)的函數(shù)、導(dǎo)數(shù)與方程的綜合題,需要對參數(shù)進行分類討論.屬中檔題.