Question

學(xué)校操場(chǎng)邊有一條小溝，溝沿是兩條長(zhǎng)150米的平行線段，溝寬AB為2米，與溝沿垂直的平面與溝的交線是一段拋物線，拋物線的頂點(diǎn)為O，對(duì)稱軸與地面垂直，溝深2米，溝中水深1米．
（Ⅰ）求水面寬；
（Ⅱ）如圖1所示形狀的幾何體稱為柱體，已知柱體的體積為底面積乘以高，求溝中的水有多少立方米？
（Ⅲ）現(xiàn)在學(xué)校要把這條水溝改挖（不準(zhǔn)填土）成截面為等腰梯形的溝，使溝的底面與地面平行，溝深不變，兩腰分別與拋物線相切（如圖2），問改挖后的溝底寬為多少米時(shí)，所挖的土最少？

Answer 1

考點(diǎn)：棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積,拋物線的應(yīng)用

專題：綜合題,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用,空間位置關(guān)系與距離

分析：（Ⅰ）建立適當(dāng)直角坐標(biāo)系，設(shè)拋物線方程為y=ax²（-1≤x≤1），由拋物線過點(diǎn)B（1，2），可得a=2，可求出拋物線方程，從而求出水面寬；（Ⅱ）利用定積分求出曲面的面積，再利用柱體的體積公式求出體積；
（Ⅲ）易知為使挖掉的土最少，等腰梯形的兩腰必須同拋物線相切，設(shè)切點(diǎn)P（t，2t²）（0＜t≤1）是拋物線弧OB上的一點(diǎn)，過P作拋物線的切線得到如上圖所示的直角梯形OCDE，則切線CD的方程為：y-2t²=4t（x-t），于是C（

1

2

t，0），D（

1

2

t+

1

2t

，2），記梯形OCDE的面積為S，則S=2（（

1

2

t+

1

2

t+

1

2t

）×2×

1

2

=2（t+

1

2t

），利用基本不等式即可得出結(jié)論．

解答： 解：（Ⅰ）如圖建立直角坐標(biāo)系，
設(shè)拋物線方程為y=ax²（-1≤x≤1）．
則由拋物線過點(diǎn)B（1，2），可得a=2．
于是拋物線方程為y=2x²（-1≤x≤1）．
當(dāng)y=1時(shí)，x=±

2

2

，由此知水面寬為

2

（米）．
（Ⅱ）V=2×150

∫

2 2 0

(1-2x2)dx=100

2

（立方米）
（Ⅲ）為使挖掉的土最少，等腰梯形的兩腰必須同拋物線相切．
設(shè)切點(diǎn)P（t，2t²）（0＜t≤1）是拋物線弧OB上的一點(diǎn)，過P作拋物線的切線得到如上圖所示的直角梯形OCDE，則切線CD的方程為：y-2t²=4t（x-t），于是C（

1

2

t，0），D（

1

2

t+

1

2t

，2）．
記梯形OCDE的面積為

1

2

S，則S=2（

1

2

t+

1

2

t+

1

2t

）×2×

1

2

=2（t+

1

2t

）≥2

2

，
當(dāng)且僅當(dāng)t=

1

2t

，t=

2

2

時(shí)，等號(hào)成立，所以改挖后的溝底寬為

2

2

米時(shí)，所挖的土最少．

點(diǎn)評(píng)：本題考查拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程、定積分的應(yīng)用、基本不等式在求函數(shù)的最值中的應(yīng)用，考查學(xué)生分析解決問題的能力，知識(shí)綜合性強(qiáng)．