Question

數(shù)列{a_n}中，a1=

5

2

，an+1=

a 2 n

2(an-1)

（n∈N⁺），用數(shù)學(xué)歸納法證明：an＞2(n∈N+)．

Answer 1

分析：（1）當(dāng)n=1時(shí)，易求a₁=

5

2

＞2，不等式成立；（2）假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)不等式成立，即a_k＞2（k∈N^*），去推證當(dāng)n=k+1時(shí)，a_k+1＞2即可．

解答：證明：（1）當(dāng)n=1時(shí)，a₁=

5

2

＞2，不等式成立．
（2）假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)不等式成立，即a_k＞2（k∈N^*），
則當(dāng)n=k+1時(shí)，
a_k+1-2=

a 2 k

2(ak-1)

-2=

(ak-2)2

2(ak-1)

＞0，
∴a_k+1＞2．
∴當(dāng)n=k+1時(shí)，不等式也成立
綜合（1）（2），不等式對所有正整數(shù)都成立．

點(diǎn)評：本題考查數(shù)列遞推式，著重考查數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用，考查推理、論證能力，屬于中檔題．