Question

四面體ABCD中，面ABC與面BCD成60⁰的二面角，頂點(diǎn)A在面BCD上的射影H是△BCD的垂心，G是△ABC的重心，若AH=4，AB=AC，則GH=

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：棱錐的結(jié)構(gòu)特征

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：根據(jù)題意，畫出圖形，結(jié)合圖形，把GH放在三角形中，借助于三角形的邊角關(guān)系，即可求出它的大小來(lái)．

解答： 解：連結(jié)AG，并延長(zhǎng)交BC于M，連結(jié)DM，如圖所示；
則AM是△ABC的中線，
∵AB=AC，∴AM⊥BC，
連結(jié)HM，則HM是AM在平面BCD上的射影；
∴根據(jù)三垂線逆定理，BC⊥HM，
∵H是△BCD的垂心，
∴GM在BC邊上的高線DH上，即DM是BC邊上的高，
∴DM是BC的垂直平分線，DB=DC，
∴∠AMD是二面角A-BC-D的平面角，
∴∠AMD=60°，

AH

AM

=sin60°，
AM=

8 3

3

，
MH=

AM

2

=

4 3

3

，
在△AMH上作GN∥AH，交MH于N，
根據(jù)三角形平行比例線段性質(zhì)，

GN

AH

=

MG

MA

，
根據(jù)三角形重心的性質(zhì)，

MG

AM

=

1

3

，
∵△MNG∽△MHA，
∴

GN

AH

=

1

3

，
∴GN=

4

3

，
同理，

MN

MH

=

1

3

，
∴MN=

1

3

•

4 3

3

=

4 3

9

，
∴NH=MH-MN=

4 3

3

-

4 3

9

=

8 3

9

，
在Rt△GNH中根據(jù)勾股定理，
GH²=GN²+NH²，
∴GH²=(

4

3

)2+(

8 3

9

)2=

336

81

∴GH=

4 21

9

．
故答案為：

4

9

21

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了空間中的兩點(diǎn)間的距離的求法問(wèn)題，解題時(shí)應(yīng)畫出圖形，結(jié)合圖形，把兩點(diǎn)間的距離放在三角形中，利用邊角關(guān)系進(jìn)行解答，是難題．