Question

已知三棱柱ABC-A₁B₁C₁的三視圖與直觀圖如圖所示，其中主視圖AA₁B₁B和左視圖B₁BCC₁均為矩形，在俯視圖△A₁B₁C₁中，A₁C₁=3，A₁B₁=5，B₁C₁=4，
（1）在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，求證：BC⊥AC₁；
（2）若三棱柱的高為5，求三視圖中左視圖的面積．

Answer 1

考點：簡單空間圖形的三視圖

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）因為主視圖和左視圖均為矩形、所以該三棱柱為直三棱柱，結(jié)合勾股定理可得BC⊥AC，進(jìn)而由線面垂直的判定定理和性質(zhì)得到BC⊥AC₁；
（2）設(shè)左視圖中BC的長等于底面△ABC中頂點C到邊AB的距離d，求出d后，代入三角形面積公式，可得答案．

解答： 證明：（1）因為主視圖和左視圖均為矩形、所以該三棱柱為直三棱柱，…2分
在俯視圖△A₁B₁C₁中，A₁C₁=3，A₁B₁=5，B₁C₁=4，
∴A₁C₁²+B₁C₁²=A₁B₁²，
∴∠A₁C₁B₁=90°，
∴BC⊥AC…4分
又∵BC⊥CC₁，CC₁∩A₁C₁=C₁，
∴BC⊥平面ACC₁A₁．…6分
∵AC₁?平面ACC₁A₁，
∴BC⊥AC₁．…8分
解：（2）左視圖中BC的長等于底面△ABC中頂點C到邊AB的距離d，
d=

3×4

5

=

12

5

，…10分
∴左視圖的面積S=

12

5

×5=12．…12分．

點評：本題考查的知識點是簡單空間圖象的三視圖，線面垂直與線線垂直的轉(zhuǎn)化，是空間線面關(guān)系與三視圖的簡單綜合應(yīng)用，難度不大，屬于基礎(chǔ)題．