Question

已知函數(shù)，（其中為常數(shù)）；

（Ⅰ）如果函數(shù)和有相同的極值點(diǎn)，求的值；

（Ⅱ）設(shè)，問(wèn)是否存在，使得，若存在，請(qǐng)求出實(shí)數(shù)的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

（Ⅲ）記函數(shù)，若函數(shù)有5個(gè)不同的零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍．

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）或（Ⅱ）（Ⅲ）

【解析】

試題分析：（1）對(duì)函數(shù)f（x）求導(dǎo)可得，由，可得得或，而在處有極大值，從而可得a；（2）假設(shè)存在，即存在x∈(?1，)，使得f（x）-g（x）＞0，由x∈(?1，)，及a＞0，可得x-a＜0，則存在x∈(?1，)，使得，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)求解；（3）據(jù)題意有f（x）-1=0有3個(gè)不同的實(shí)根，g（x）-1=0有2個(gè)不同的實(shí)根，且這5個(gè)實(shí)根兩兩不相等．g（x）-1=0有2個(gè)不同的實(shí)根，只需滿足⇒a＞1或a＜?3；有3個(gè)不同的實(shí)根，從而結(jié)合導(dǎo)數(shù)進(jìn)行求解.

試題解析：（Ⅰ），則，

令，得或，而在處有極大值，∴，或；綜上：或． （3分）

（Ⅱ）假設(shè)存在，即存在，使得

，

當(dāng)時(shí)，又，故，則存在，使得， （4分）

當(dāng)即時(shí)，得，； （5分）

當(dāng)即時(shí)，得， （6分）

無(wú)解；綜上：． （7分）

（Ⅲ）據(jù)題意有有3個(gè)不同的實(shí)根，有2個(gè)不同的實(shí)根，且這5個(gè)實(shí)根兩兩不相等．

（ⅰ）有2個(gè)不同的實(shí)根，只需滿足； （8分）

（ⅱ）有3個(gè)不同的實(shí)根，

當(dāng)即時(shí)，在處取得極大值，而，不符合題意，舍； （9分）

當(dāng)即時(shí)，不符合題意，舍；

當(dāng)即時(shí)，在處取得極大值，；所以； （10分）

因?yàn)椋?/span>ⅰ）（ⅱ）要同時(shí)滿足，故；（注：也對(duì)） （11分）

下證：這5個(gè)實(shí)根兩兩不相等，即證：不存在使得和同時(shí)成立；

若存在使得，

由，即，得，

當(dāng)時(shí)，，不符合，舍去；

當(dāng)時(shí)，既有 ①；

又由，即 ②； 聯(lián)立①②式，可得；

而當(dāng)時(shí)，沒(méi)有5個(gè)不同的零點(diǎn)，故舍去，所以這5個(gè)實(shí)根兩兩不相等．

綜上，當(dāng)時(shí)，函數(shù)有5個(gè)不同的零點(diǎn)． （14分）

考點(diǎn)： 1. 函數(shù)與方程的綜合運(yùn)用；2.函數(shù)的零點(diǎn)；3.利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值．