Question

低碳生活，從“衣食住行”開始．在國內(nèi)一些網(wǎng)站中出現(xiàn)了“碳足跡”的應(yīng)用，人們可以由此計算出自己每天的碳排放量，如家居用電的二氧化碳排放量（千克）＝耗電度數(shù)，家用天然氣的二氧化碳排放量（千克）＝天然氣使用立方數(shù)等．某校開展“節(jié)能減排，保護環(huán)境，從我做起！”的活動，該校高一、六班同學利用假期在東城、西城兩個小區(qū)進行了逐戶的關(guān)于“生活習慣是否符合低碳排放標準”的調(diào)查．生活習慣符合低碳觀念的稱為“低碳家庭”，否則稱為“非低碳家庭”．經(jīng)統(tǒng)計，這兩類家庭占各自小區(qū)總戶數(shù)的比例數(shù)據(jù)如下：

東城小區(qū)	低碳家庭	非低碳家庭		西城小區(qū)	低碳家庭	非低碳家庭
比例				比例

   （1）如果在東城、西城兩個小區(qū)內(nèi)各隨機選擇2個家庭，求這個家庭中恰好有兩個家庭是“低碳家庭”的概率；

   （2）該班同學在東城小區(qū)經(jīng)過大力宣傳節(jié)能減排的重要意義，每周“非低碳家庭”中有的家庭能加入到“低碳家庭”的行列中．宣傳兩周后隨機地從東城小區(qū)中任選個家庭，記表示個家庭中“低碳家庭”的個數(shù)，求和．

Answer 1

解析】『法一』(1)取中點為，連結(jié)，………1分

          ∵分別為中點

          ∴∥∥，

∴四點共面，             ………3分

且平面平面

又平面，

且∥平面

∴∥

∵為的中點，∴是的中點，                ………5分

∴．                                          ………6分

（2）連結(jié)，                                       ………7分

因為三棱柱為直三棱柱，∴平面

∴，即四邊形為矩形，且

∵是的中點，∴，

又平面，

∴，從而平面                 ………9分

∴是在平面內(nèi)的射影

∴與平面所成的角為∠

又∥，

∴直線和平面所成的角即與平面所成的角…10分

設(shè)，且三角形是等腰三角形

∴，則，

∴                         

∴直線和平面所成的角的余弦值為．       ………12分

『法二』（1）因為三棱柱為直三棱柱，

∴平面，又

∴以為坐標原點，分別以

所在直線為軸，

建立如圖空間直角坐標系.    ………1分

設(shè)，又三角形是

等腰三角形，所以

易得，，，

所以有，

設(shè)平面的一個法向量為，則有，即  

，令，有                  ………4分

（也可直接證明為平面法向量）

設(shè)，，又，

∴

若∥平面，則，所以有，

解得，∴                               ………6分

（2）由（1）可知平面的一個法向量是，

，，求得

設(shè)直線和平面所成的角為，，

則，                  ………11分

所以

∴直線和平面所成的角的余弦值為．        ………12分