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精英家教網設雙曲線
x2
4
-y2=1的右頂點為A，P是雙曲線上異于頂點的一個動點，從A引雙曲線的兩條漸近線的平行線與直線OP （O為坐標原點）分別交于Q和R兩點．
（1）證明：無論P點在什么位置，總有|
OP
|2=|
OQ
•
OR
|；
（2）設動點C滿足條件：
AC
=
1
2
（
AQ
+
AR
），求點C的軌跡方程．
分析：（1）設OP：y=kx與AR：y=
1
2
(x-2)聯(lián)立，解得
OR
=(
2
1-2k
， 
2k
1-2k
)，同理可得
QR
=(
2
1+2k
，
2k
1+2k
)，所以|
OQ
•
OR
|=
4+4k2
|1-4k2|
，由此知|
OP
|2=m2+n2=
4+4k2
1-4k2
=|
OQ
•
OR
|．
（2）由
AC
=
1
2
（
AQ
+
AR
），知點C為QR的中點，設C（x，y），有
 x=
2
1-4k2
 y=
2k
1-4k2
，消去k，可得所求軌跡方程．
解答：解：（1）設OP：y=kx與AR：y=
1
2
(x-2)聯(lián)立，解得
OR
=(
2
1-2k
， 
2k
1-2k
)，（2分）
同理可得
QR
=(
2
1+2k
，
2k
1+2k
)，所以|
OQ
•
OR
|=
4+4k2
|1-4k2|
，（2分）
設
OP
=（m，n），則由雙曲線方程與OP方程聯(lián)立解得m2=
4
1-4k2
，  n2=
4k2
1-4k2
，（2分）
所以|
OP
|2=m2+n2=
4+4k2
1-4k2
=|
OQ
•
OR
|（點在雙曲線上，1-4k2＞0）；（2分）
（2）∵
AC
=
1
2
（
AQ
+
AR
），
∴點C為QR的中點，設C（x，y），
則有
 x=
2
1-4k2
 y=
2k
1-4k2
，消去k，可得所求軌跡方程為x2-2x-4y2=0（x≠0）．（6分）
點評：本題考查直線和圓錐曲線的位置關系，解題時要認真審題，注意合理地進行等價轉化．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

設F1和F2為雙曲線
x2
4
-y2=1的兩個焦點，點P在雙曲線上且滿足∠F1PF2=90°，則△F1PF2的面積是（　　）
A、1
B、
5
2
C、2
D、
5

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科目：高中數學 來源： 題型：

設 F1、F2是雙曲線
x2
4
-y2=1的兩個焦點，點P在雙曲線上，且∠F1PF2=90°，則△F1PF2的面積為（　�。�

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科目：高中數學 來源： 題型：

（2012•上海二模）設雙曲線
x2
4
-y2=1的右焦點為F，點P1、P2、…、Pn是其右上方一段（2≤x≤2
5
，y≥0）上的點，線段|PkF|的長度為ak，（k=1，2，3，…，n）．若數列{an}成等差數列且公差d∈（
1
5
，
5
5
），則n最大取值為
14
14
．

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科目：高中數學 來源：上海二模 題型：填空題

設雙曲線
x2
4
-y2=1的右焦點為F，點P1、P2、…、Pn是其右上方一段（2≤x≤2
5
，y≥0）上的點，線段|PkF|的長度為ak，（k=1，2，3，…，n）．若數列{an}成等差數列且公差d∈（
1
5
，
5
5
），則n最大取值為______．

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