Question

已知函數(shù)f（x）=x²-ax+a．設(shè)p：方程f（x）=0有實(shí)數(shù)根；q：函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，2]上是增函數(shù)．若p和q有且只有一個(gè)正確，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：命題的真假判斷與應(yīng)用

專題：簡(jiǎn)易邏輯

分析：首先考慮命題p，q均為真命題，求出a的取值范圍，再根據(jù)p，q中一真一假，分別求出a的取值范圍，最后求并集．

解答： 解：若p真，即方程f（x）=0有實(shí)數(shù)根，
則△=a²-4a≥0?a≤0，或a≥4；…（2分）
若q真，即函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，2]上是增函數(shù)，
則區(qū)間[1，2]在對(duì)稱軸的右邊即

a

2

≤1⇒a≤2…（3分）
因?yàn)閜和q有且只有一個(gè)正確，所以p，q中一真一假．
若p真q假，則

a≤0，或a≥4 a＞2

⇒a≥4；
若p假q真，則

0＜a＜4 a≤2

⇒0＜a≤2．…（7分）
所以實(shí)數(shù)a的取值范圍為（0，2]∪[4，+∞）…（8分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查命題的真假判斷和應(yīng)用，同時(shí)考查函數(shù)的單調(diào)性和集合、不等式的運(yùn)算，是一道基礎(chǔ)題．