Question

【題目】已知四棱錐P﹣ABCD中，底面為矩形，PA⊥底面ABCD，PA=BC=1，AB=2，M為PC中點(diǎn)．
（Ⅰ）在圖中作出平面ADM與PB的交點(diǎn)N，并指出點(diǎn)N所在位置（不要求給出理由）；
（Ⅱ）在線段CD上是否存在一點(diǎn)E，使得直線AE與平面ADM所成角的正弦值為 ，若存在，請(qǐng)說(shuō)明點(diǎn)E的位置；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；
（Ⅲ）求二面角A﹣MD﹣C的余弦值．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）過(guò)M作MN∥BC，交PB于點(diǎn)N，連接AN，如圖，
則點(diǎn)N為平面ADM與PB的交點(diǎn)N（在圖中畫(huà)出）
由M為PC中點(diǎn)，得N為PB的中點(diǎn)．
（Ⅱ）因?yàn)樗睦忮FP﹣ABCD中，底面為矩形，PA⊥底面ABCD，
以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，以直線AB，AD，AP所在直線建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示：
則A（0，0，0），P（0，0，1），D（0，1，0），C（2，1，0），M（1， ），
設(shè)在線段CD上存在一點(diǎn)E（x，1，0），則
設(shè)直線AE與平面AMD所成角為θ，平面AMD的法向量為 ，
則 ，即 ，令z=2，則 ，
因?yàn)橹本�AE與平面ADM所成角的正弦值為 ，
所以 ，所以x=1
所以在線段CD上存在中點(diǎn)E，
使得直線AE與平面AMD所成角的正弦值為
（Ⅲ）設(shè)平面CMD的法向量 ，
則 ，即 ，令z′=﹣1，則y′=﹣1，
所以
所以 ，
由圖形知二面角A﹣MD﹣C的平面角是鈍角，
所以二面角A﹣MD﹣C的平面角的余弦值為

【解析】（Ⅰ）過(guò)M作MN∥BC，交PB于點(diǎn)N，由此求出結(jié)果．（Ⅱ）以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，以直線AB，AD，AP所在直線建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出在線段CD上存在中點(diǎn)E，使得直線AE與平面AMD所成角的正弦值為 ．（Ⅲ）求出平面CMD的法向量和平面AMD的法向量，由此利用向量法能求出二面角A﹣MD﹣C的平面角的余弦值．
【考點(diǎn)精析】掌握直線與平面垂直的判定是解答本題的根本，需要知道一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直；注意點(diǎn)：a)定理中的“兩條相交直線”這一條件不可忽視；b)定理體現(xiàn)了“直線與平面垂直”與“直線與直線垂直”互相轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想．