Question

已知四棱錐的底面為直角梯形，，底面，且，，是的中點．

（1）證明：面面；

（2）求與所成的角的余弦值；

（3）求二面角的正弦值．

 

Answer 1

（1）見解析 (2) ;（3）．

【解析】試題分析：以為坐標(biāo)原點,長為單位長度，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，從而由已知可得各點坐標(biāo)．

(1)注意到四棱錐的底面為直角梯形，，,所以,應(yīng)用空間向量的數(shù)量積可證,從而有DCPA,由于與是平面內(nèi)的兩條相交直線，由此得面．又在面內(nèi)，故面⊥面; (2)寫出向量的空間坐標(biāo),然后利用公式:可求出所求兩直線所成角的余弦值; （3）先求分別出二面角的兩個面: 平面ACB和平面MAC的一個法向量,從而就可求出二面角的余弦值,進而就可求出其正弦值．

試題解析：

以為坐標(biāo)原點,長為單位長度，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則各點坐標(biāo)為．

（1）證明：因

由題設(shè)知，且與是平面內(nèi)的兩條相交直線，由此得面．又在面內(nèi)，故面⊥面

（2）【解析】
因故，所以

所以，AC與PC所成角的余弦值為

（3）【解析】
易知平面ACB的一個法向量

設(shè)平面MAC的一個法向量則，不妨取

設(shè)二面角的平面角為則，

則

所以

考點：1．面面垂直的判定;2．異面直線所成的角;3．二面角;4．空間向量的運算．