Question

（2013•許昌三模）如圖，多面體ABCDE中，AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，AB=CD=1，AC=

3

，AD=DE=2，G為AD的中點(diǎn)．
（1）求證；AC⊥CE；
（2）在線段CE上找一點(diǎn)F，使得BF∥平面ACD，并給予證明；
（3）求三棱錐V_G-BCE的體積．

Answer 1

分析：（1）利用線面垂直的性質(zhì)定理即可得出DE⊥AC；根據(jù)勾股定理的逆定理可得AC⊥CD，利用線面垂直的判定定理可得AC⊥平面CDE，
（2）利用線面垂直的性質(zhì)定理可得AB∥ED，設(shè)F為線段CE的中點(diǎn)，H是線段CD的中點(diǎn)，利用三角形的中位線定理可得FH

∥

.

1

2

ED，又AB

∥

.

1

2

ED，于是可得四邊形ABFH為平行四邊形，可得BF∥AH，再利用線面平行的判定定理即可證明；
（3）作CP⊥AD垂足為P，利用面面垂直的性質(zhì)定理可得CP⊥平面ABED，再利用VG-BCE=VC-BGE=

1

3

S△BGE•CP，即可得出體積．

解答：（1）證明：∵DE⊥平面ACD，∴DE⊥AC，
AC=

3

，CD=1，AD=2，∴AD²=AC²+CD²，∴AC⊥CD．
∴CD∩DE=D，∴AC⊥平面CDE．
∴AC⊥CE．
（2）由已知AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，∴AB∥ED，
設(shè)F為線段CE的中點(diǎn)，H是線段CD的中點(diǎn)，
連接FH，則FH

∥ .

.

1

2

ED，∴FH

∥ .

.

AB，
∴四邊形ABFH是平行四邊形，∴BF∥AH，
由BF?平面ACD內(nèi)，AH?平面ACD，∴BF∥平面ACD；
（3）由ED⊥平面ACD，∴平面ABED⊥平面ACD，
在平面ACD內(nèi)作CP⊥AD垂足為P，
∵平面ABED∩平面ACD=AD，∴CP⊥平面ABED，CP為三棱錐V_C-BGE的高．
由VG-BCE=VC-BGE=

1

3

S△BGE•CP，
∵S梯形ABED=

AD(AB+ED)

2

=

2×(1+2)

2

=3，S△ABG=

1

2

×1×1=

1

2

，S△DGE=

1

2

×1×2=1．
∴S△BGE=S梯形ABED-S△ABG-S△DGE=3-

1

2

-1=

3

2

，
∵

1

2

AC•CD=

1

2

AD•CP，CP=

3

2

．
∴三棱錐V_G-BCE的體積VG-BCE=VC-BGE=

1

3

S△BGE•CP=

1

3

×

3

2

×

3

2

=

3

4

．

點(diǎn)評(píng)：熟練掌握線面垂直的判定和性質(zhì)定理、勾股定理的逆定理、三角形的中位線定理、平行四邊形的判定和性質(zhì)定理、線面平行的判定定理、面面垂直的性質(zhì)定理、三棱錐的體積計(jì)算公式和“等積變形”是解題的關(guān)鍵．