Question

設函數(shù)f（x）=ax²-2lnx
（1）討論函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若函數(shù)g（x）=x²-2bx+4，當a=1時，若對任意x₁∈（

1

2

，

3

2

），當任意x₂∈[2，4]時，f（x₁）≥g（x₂）恒成立，求實數(shù)b的取值范圍．

Answer 1

考點：導數(shù)在最大值、最小值問題中的應用,利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：導數(shù)的綜合應用

分析：（1）求出函數(shù)的導數(shù)，通過a≤0，a＞0討論導函數(shù)的根，判斷導函數(shù)的符號，從而確定函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）利用（1）的結果，使得函數(shù)g（x）=x²-2bx+4，當a=1時，若對任意x₁∈（

1

2

，

3

2

），當任意x₂∈[2，4]時，f（x₁）≥g（x₂）恒成立，轉化為：g（x）≤f（x）_min，求實數(shù)b的取值范圍

解答： 解：（1）函數(shù)f（x）=ax²-2lnx
∴f，(x)=2ax-

2

x

=

2ax2-1

x

，(x＞0)，
當a≤0時；f′（x）＜0．所以f（x）在（0，+∞）上是單調(diào)遞減函數(shù)；
當a＞0時；f′（x）=0．得x=

1 a

，若x＜

1 a

則f′（x）＜0；若x＞

1 a

則f′（x）＞0．
所以f（x）在（0，

1 a

）上是單調(diào)遞減函數(shù)；在（

1 a

，+∞）是單調(diào)遞增函數(shù)
綜上可知：當a≤0時；f（x）在（0，+∞）上是單調(diào)遞減函數(shù)；
當a＞0時；f（x）在（0，

1 a

）上是單調(diào)遞減函數(shù)；在（

1 a

，+∞）是單調(diào)遞增函數(shù)…（6分）
（2）由（1）可知f（x）_min=f（1）=1  
所以g（x）≤1在x∈[2，4]上恒成立；
即x²-2bx+4≤1在x∈[2，4]上恒成立；
可得b≥

x

2

+

3

2x

恒成立，x∈（2，4），
y=

x

2

+

3

2x

是減函數(shù)，x=4時，函數(shù)取得最大值為：y=

x

2

+

3

2x

＜

4

2

+

3

2×4

=

19

8

，
所以b≥

19

8

…（12分）

點評：本題考查函數(shù)的導數(shù)的應用最值的求法，函數(shù)的單調(diào)性的判斷與證明，難度比較大的壓軸題．