Question

(2014·孝感模擬)已知定義在區(qū)間[0,2]上的兩個(gè)函數(shù)f(x)和g(x),其中f(x)=-x2+2ax+1+a2,g(x)=x-+.

(1)求函數(shù)f(x)的最小值.

(2)對(duì)于?x1,x2∈[0,2],f(x1)>g(x2)恒成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

 

Answer 1

（1）f(x)min=

（2）a∈(-∞,-5)∪(1,+∞)

【解析】(1)函數(shù)f(x)的對(duì)稱軸是x=a,

當(dāng)a≤1時(shí),f(x)min=f(2)=a2+4a-3,

當(dāng)a>1時(shí),f(x)min=f(0)=1+a2,

所以f(x)min=

(2)令=t(t∈[0,]),則x=2-t2,

所以g(x)=h(t)=-t2+t+,

因?yàn)閷?duì)稱軸t=∈,所以g(x)max=h(t)max=2,

由題意,要使對(duì)于?x1,x2∈[0,2],f(x1)>g(x2)恒成立,只要f(x)min>g(x)max即可,

所以當(dāng)a≤1時(shí),f(x)min=a2+4a-3>2,

解得：a<-5,

當(dāng)a>1時(shí),f(x)min=1+a2>2,解得：a>1,

綜上所述,a∈(-∞,-5)∪(1,+∞).