Question

已知球O的表面積為16π，球心O在大小為

π

3

的二面角α-l-β的內部，且平面α與球O相切與點M，平面β截球O所得的小圓O′的半徑為1（O′為小圓圓心），若點P為圓O上任意一點，記∠MOP為θ，則下列結論正確的是（　�。�

• A、當θ取得最小值時，O′P與OM所成角為

  π

  3

• B、當θ取得最小值時，點P到平面α的距離為

  3

• C、θ的最大值為

  5π

  6

• D、θ的最大值為π

Answer 1

考點：平面與平面之間的位置關系

專題：空間位置關系與距離

分析：球半徑為R=2，小圓O′的半徑為1，所以|OO′|=

3

，∠OPO′=

π

3

，∠POO′=

π

6

，當θ取得最小值時，O′P與OM所成角為

π

6

，點P到平面α的距離為2，θ的最大值為

5π

6

．

解答： 解：∵球半徑為R=2，小圓O′的半徑為1，
∴|OO′|=

3

，∴∠OPO′=

π

3

，∴∠POO′=

π

6

，
當θ取得最小值時，MA∥O′P，
O′P與OM所成角為

π

6

，故A錯誤；
當θ取得最小值時，點P到平面α的距離為2，故B錯誤；
當θ取得最大值時，∠MOP=

π

2

+

π

3

=

5π

6

，
即θ的最大值為

5π

6

，故C正確，D錯誤．
故選：C．

點評：本題考查命題的真假判斷，解題時要認真審題，注意球、二面角、圓等知識點的綜合運用，有一定的難度．