已知雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)為的曲線C上.（Ⅰ）求雙曲線C的方程；

（Ⅱ）記O為坐標(biāo)原點(diǎn)，過點(diǎn)Q (0,2)的直線l與雙曲線C相交于不同的兩點(diǎn)E、F，若△OEF的面積為求直線l的方程

 

【答案】

（Ⅰ） （Ⅱ）方程分別為y=和

【解析】

試題分析：(Ⅰ)依題意，由a2+b2=4，得雙曲線方程為（0＜a2＜4)，

將點(diǎn)（3，）代入上式，得.解得a2=18（舍去）或a2＝2，故所求雙曲線方程為

(Ⅱ)依題意，可設(shè)直線l的方程為y=kx+2，代入雙曲線C的方程并整理，得(1－k2)x2－4kx－6=0.

∵直線I與雙曲線C相交于不同的兩點(diǎn)E、F,

∴  ∴k∈(－)∪(1,).

設(shè)E(x1,y1),F(x2,y2)，則由①式得x1+x2=于是

|EF|=

=，而原點(diǎn)O到直線l的距離d＝,

∴SΔOEF=

若SΔOEF＝，即解得k=±，滿足②.

故滿足條件的直線l有兩條，其方程分別為y=和

考點(diǎn)：雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；直線與圓錐曲線的綜合問題．

點(diǎn)評：本題主要考查了雙曲線的方程和雙曲線與直線的關(guān)系,注意計(jì)算的靈活處理，考查了學(xué)生綜合運(yùn)

算能力．

 

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)為F1（-
5
，0）、F2（
5
，0），P是此雙曲線上的一點(diǎn)，且PF1⊥PF2，|PF1|•|PF2|=2，則該雙曲線的方程是（　�。�
A、
x2
2
-
y2
3
=1
B、
x2
3
-
y2
2
=1
C、
x2
4
-y2=1
D、x2-
y2
4
=1

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)是橢圓
x2
100
+
y2
64
=1的兩個(gè)頂點(diǎn)，雙曲線的兩條準(zhǔn)線經(jīng)過橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，則此雙曲線的方程是（　　）
A、
x2
60
-
y2
30
=1
B、
x2
50
-
y2
40
=1
C、
x2
60
-
y2
40
=1
D、
x2
50
-
y2
30
=1

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)為橢圓
x2
16
+
y2
7
=1的長軸的端點(diǎn)，其準(zhǔn)線過橢圓的焦點(diǎn)，則該雙曲線的離心率為
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)為F1(-
5
，0)，F2(
5
，0)，P是此雙曲線上的一點(diǎn)，且PF1⊥PF2，|PF1|•|PF2|=2，求該雙曲線的方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)F1（-
10
，0），F(xiàn)2（
10
，0），M是此雙曲線上的一點(diǎn)，|
MF1
|-|
MF2
|=6，則雙曲線的方程為
x2
9
-y2=1
x2
9
-y2=1
．

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