Question

已知f（x）=3-4^x+2xln2，數(shù)列{a_n}滿足：-

1

2

＜a1＜0， 21+an+1=f(an) (n∈N*)
（1）求f（x）在[-

1

2

，0]上的最大值和最小值；
（2）用數(shù)學(xué)歸納法證明：-

1

2

＜an＜0．

Answer 1

分析：（1）求導(dǎo)函數(shù)，確定函數(shù)的單調(diào)性，即可求得函數(shù)的最值；
（2）利用數(shù)學(xué)歸納法的證題步驟，關(guān)鍵證明n=k+1時(shí)，結(jié)論成立，需要利用歸納假設(shè)．

解答：（1）解：求導(dǎo)函數(shù)，可得f′（x）=（1-4^x）ln4
∵x∈[-

1

2

，0]，∴0＜1-4^x＜

1

2

，∴f′（x）＞0
∴f（x）在[-

1

2

，0]上單調(diào)遞增
∴f_max（x）=f（0）=2；f_min（x）=f（-

1

2

）=

5

2

-ln2；
（2）證明：①n=1時(shí)，結(jié)論成立；
②假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)，命題成立，即-

1

2

＜ak＜0，
則n=k+1時(shí)，由（1）得21+ak+1=f（a_k）∈（

5

2

-ln2，2）
∴

2

＜

3

2

＜

5

2

-ln2＜21+ak+1＜2
∴

1

2

＜1+ak+1＜1
∴-

1

2

＜ak+1＜0，即n=k+1時(shí)命題成立
由①②可知，-

1

2

＜an＜0．

點(diǎn)評(píng)：本題考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用，考查函數(shù)的最值，考查數(shù)學(xué)歸納法，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題．