Question

已知函數f（x）=

x+1

ex

（e為自然對數的底數）．
（1）求函數f（x）的單調區(qū)間；
（2）設函數φ（x）=xf（x）+tf′（x）+

1

ex

，存在函數x₁，x₂∈[0，1]，使得成立2φ（x₁）＜φ（x₂）成立，求實數t的取值范圍．

Answer 1

考點：導數在最大值、最小值問題中的應用

專題：綜合題,導數的綜合應用

分析：（1）確定函數的定義域，求導數．利用導數的正負，可得函數f（x）的單調區(qū)間；
（2）假設存在x₁，x₂∈[0，1]，使得成立2φ（x₁）＜φ（x₂）成立，則2φ（x）_min＜φ（x）_max．分類討論求最值，即可求實數t的取值范圍．

解答： 解：（1）∵函數的定義域為R，f′（x）=-

x

ex

…．（2分）
∴當x＜0時，f′（x）＞0，當x＞0時，f′（x）＜0．
∴f（x）在（-∞，0）上單調遞增，在（0，+∞）上單調遞減．…．（4分）
（2）假設存在x₁，x₂∈[0，1]，使得成立2φ（x₁）＜φ（x₂）成立，則2φ（x）_min＜φ（x）_max．
∵φ（x）=xf（x）+tf′（x）+

1

ex

=

x2+(1-t)x+1

ex

，
∴φ′（x）=

-(x-t)(x-1)

ex

…（6分）
①當t≥1時，φ′（x）≤0，φ（x）在[0，1]上單調遞減，∴2φ（1）＜φ（0），即t＞3-

e

2

＞1．…．（8分）
②當t≤0時，φ′（x）＞0，φ（x）在[0，1]上單調遞增，∴2φ（0）＜φ（1），即t＜3-2e＜0．…．（10分）
③當0＜t＜1時，
在x∈[0，t），φ′（x）＜0，φ（x）在[0，t]上單調遞減
在x∈（t，1]，φ′（x）＞0，φ（x）在[t，1]上單調遞增
∴2φ（t）＜max{φ（0），φ（1）}，即2•

t+1

et

＜{1，

3-t

e

}（*）
由（1）知，g（t）=2•

t+1

et

在[0，1]上單調遞減
故

4

e

≤2•

t+1

et

≤2，而

2

e

≤

3-t

e

≤

3

e

，
∴不等式（*）無解
綜上所述，存在t∈（-∞，3-2e）∪（3-

e

2

，+∞），使得命題成立．…（12分）

點評：本題考查導數知識的運用，考查函數的單調性，考查函數的最值，考查分類討論的數學思想，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．