Question

四邊形ABCD與A′ABB′都是邊長為a的正方形，且平面ABB′A′⊥平面ABCD，點E是A′A的中心．
（1）求證：平面A′AC⊥平面BDE；
（2）求三棱錐A′-CDE的體積．

Answer 1

考點：平面與平面垂直的判定,棱柱、棱錐、棱臺的體積

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）欲證平面A′AC⊥平面BDE，根據(jù)面面垂直的判定定理可知在平面BDE內(nèi)一直線與平面A′AC垂直，而根據(jù)線面垂直的判定定理可知BD⊥平面A'AC，而BD?平面BDE，滿足定理所需條件．
（2）S△A′DE=

1

2

S△A′AD，CD⊥平面A′AD，且CD=a，由此利用VA′-CDE=VC-A′DE，能求出三棱錐A′-CDE的體積．

解答： （1）證明：∵ABCD為正方形，∴BD⊥AC，
∵平面ABB′A′⊥平面ABCD，AA′AD，
∴AA′⊥平面ABCD，BD?平面ABCD，∴AA′⊥BD，
∴BD⊥平面A′AC，而BD?平面BDE，
∴平面A′AC⊥平面BDE．
（2）解：∵四邊形ABCD與A′ABB′都是邊長為a的正方形，
∴△A′AD是等腰直角三角形，AA′=AD=a，∠A′AD=90°，
∴S△A′DE=

1

2

S△A′AD=

1

2

×

1

2

a2=

1

4

a2，
∵CD⊥AD，AA′⊥平面ABCD，∴CD⊥AA′，
又AA′∩AD=A，∴CD⊥平面A′AD，且CD=a，
∴三棱錐A′-CDE的體積：
VA′-CDE=VC-A′DE=

1

3

×a×

1

4

a2=

a3

12

．

點評：本題主要考查面面垂直的證明，考查三棱錐A′-CDE的體積的求法，同時考查了空間想象能力、計算能力、轉(zhuǎn)化與劃歸的思想，屬于中檔題．