Question

對(duì)于函數(shù)y=f（x），x∈（0，+∞），如果a，b，c是一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)，那么f（a），f（b），f（c）也是一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)，則稱(chēng)函數(shù)f（x）為“保三角形函數(shù)”．
對(duì)于函數(shù)y=g（x），x∈[0，+∞），如果a，b，c是任意的非負(fù)實(shí)數(shù)，都有g(shù)（a），g（b），g（c）是一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)，則稱(chēng)函數(shù)g（x）為“恒三角形函數(shù)”．
（Ⅰ）判斷三個(gè)函數(shù)“f₁（x）=x，f₂（x）=

2x

，f₃（x）=3x²（定義域均為x∈（0，+∞））”中，哪些是“保三角形函數(shù)”？請(qǐng)說(shuō)明理由；
（Ⅱ）若函數(shù)g(x)=

x2+kx+1

x2-x+1

，x∈[{0，+∞}）是“恒三角形函數(shù)”，試求實(shí)數(shù)k的取值范圍；
（Ⅲ）如果函數(shù)h（x）是定義在（0，+∞）上的周期函數(shù)，且值域也為（0，+∞），試證明：h（x）既不是“恒三角形函數(shù)”，也不是“保三角形函數(shù)”．

Answer 1

分析：（Ⅰ）不妨設(shè)a≤b≤c，由a+b＞c，能推出f₁（a）+f₁（b）＞c=f₁（c），可得f₁（x）是“保三角形函數(shù)”．
同理可得f₂（x）是“保三角形函數(shù)”．通過(guò)舉反列a=3，b=3，c=5，f₃（a）+f₃（b）=f₃（c），
故f₃（x）不是“保三角形函數(shù)”．
（Ⅱ）當(dāng)x=0時(shí)，g（x）=1；當(dāng)x＞0時(shí)，g(x)=1+

k+1

x+ 1 x -1

，當(dāng)k＞-1時(shí)，g（x）∈（1，k+2]，
由“恒三角形函數(shù)”的定義，1+1＞k+2，k＜0，故 有-1＜k＜0．
當(dāng)k＜-1時(shí)，g（x）∈[k+2，1]，解

k+2＞0 (k+2)+(k+2)＞1

，得k＞-

3

2

，所以，-

3

2

＜k＜-1．
將以上兩個(gè)范圍取并集．
（Ⅲ）因?yàn)榇嬖谡龑?shí)數(shù)a，b，c，使得h（a）=1，h（b）=1，h（c）=2，故h（x）不是“恒三角形函數(shù)”．
由周期函數(shù)的定義，存在n＞m＞0，使得h（m）=1，h（n）=2，a，b，c是一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)，但因?yàn)?BR>h（a）=h（b）=h（m）=1，h（c）=h（n）=2，故h（a），h（b），h（c）不是一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)，
h（x）也不是“保三角形函數(shù)”．

解答：解：（Ⅰ）對(duì)于f₁（x）=x，它在（0，+∞）上是增函數(shù)，
不妨設(shè)a≤b≤c，則f₁（a）≤f₁（b）≤f₁（c），因?yàn)閍+b＞c，
所以f₁（a）+f₁（b）=a+b＞c=f₁（c），故f₁（x）是“保三角形函數(shù)”（2分）
對(duì)于f2(x)=

2x

，它在（0，+∞）上是增函數(shù)，
不妨設(shè)a≤b≤c，則f₂（a）≤f₂（b）≤f₂（c），因?yàn)閍+b＞c，
所以f2(a)+f2(b)=

2a

+

2b

=

( 2a + 2b )2

＞

2(a+b)

＞

2c

=f₂（c），
故f₂（x）是“保三角形函數(shù)”（4分）
對(duì)于f₃（x）=3x²，取a=3，b=3，c=5，顯然a，b，c是一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)，
但因?yàn)閒₃（a）+f₃（b）=3×（3²+3²）＜3×5²=f₃（c），
所以，f₃（a）、f₃（b）、f₃（c）不是三角形的三邊長(zhǎng)，故f₃（x）不是“保三角形函數(shù)”（6分）
（Ⅱ）∵g(x)=1+

(k+1)x

x2-x+1

，
∴當(dāng)x=0時(shí)，g（x）=1；  當(dāng)x＞0時(shí)，g(x)=1+

k+1

x+ 1 x -1

．
當(dāng)k＞-1時(shí)，因?yàn)?span dealflag="1" class="MathJye" mathtag="math" style="whiteSpace:nowrap;wordSpacing:normal;wordWrap:normal">g(x)=1+

k+1

x+ 1 x -1

≤1+

k+1

2 x• 1 x -1

=k+2，
所以，g（x）∈（1，k+2]，
從而當(dāng)k＞-1時(shí)，g（x）∈[1，k+2]，由1+1＞k+2，得k＜0，所以，-1＜k＜0（9分）
當(dāng)k＜-1時(shí)，因?yàn)?span dealflag="1" class="MathJye" mathtag="math" style="whiteSpace:nowrap;wordSpacing:normal;wordWrap:normal">g(x)=1+

k+1

x+ 1 x -1

≥1+

k+1

2 x• 1 x -1

=k+2，
所以，g（x）∈[k+2，1），
從而當(dāng)k＜-1時(shí)，g（x）∈[k+2，1]，由

k+2＞0 (k+2)+(k+2)＞1

，
得 k＞-

3

2

，所以，-

3

2

＜k＜-1，
綜上所述，所求k的取值范圍是：-

3

2

＜k＜0．（11分）

（Ⅲ）①因?yàn)閔（x）的值域?yàn)椋?，+∞），∴存在正實(shí)數(shù)a，b，c，
使得h（a）=1，h（b）=1，h（c）=2，
顯然這樣的h（a），h（b），h（c）不是一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)，
故h（x）不是“恒三角形函數(shù)”（13分）
②因?yàn)閔（x）是值域?yàn)椋?，+∞）的周期函數(shù)，所以存在n＞m＞0，
使得h（m）=1，h（n）=2，
設(shè)h（x）的最小正周期為T(mén)（T＞0），
令a=b=m+kT，c=n，其中k∈N^*，且k＞

n-2m

2T

，
則a+b＞c，又顯然b+c＞a，c+a＞b，所以a，b，c是一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)，
但因?yàn)閔（a）=h（b）=h（m）=1，h（c）=h（n）=2，
所以h（a），h（b），h（c）不是一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)，
故h（x）也不是“保三角形函數(shù)”（16分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查“保三角形函數(shù)”、“恒三角形函數(shù)”的定義，函數(shù)的單調(diào)性與周期性，體現(xiàn)了分類(lèi)討論的數(shù)學(xué)思想．